([1], seção 16.4) ([2], seção 8.2) Use o Teorema de Green para calcular
. (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o Teorema.)
é uma curva fechada, simples,
por partes, orientada no sentido positivo, cuja imagem é a fronteira de um compacto
com área
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa calcular a integral de linha
usando o Teorema de Green. A função vetorial dada é
. A curva
é fechada, simples, suave por partes, orientada positivamente (no sentido anti-horário) e delimita uma região
com área
. Vamos precisar entender o Teorema de Green e como aplicá-lo aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele nos diz que, para uma curva fechada
que delimita uma região
:
Onde
. Nesse caso,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas necessárias:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
Passo 5
A integral dupla
é simplesmente 2 vezes a área da região
. Como a área de
é
, temos: