([1], seção 16.4) ([2], seção 8.2) Use o Teorema de Green para calcular integralC F cdot d r. (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o Teorema.)
F(x, y)=(2 x+y) i+(3 x-y) j, C é uma curva fechada, simples, C^1 por partes, orientada no sentido positivo, cuja imagem é a fronteira de um compacto B com área alpha.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa calcular a integral de linha usando o Teorema de Green. A função vetorial dada é . A curva é fechada, simples, suave por partes, orientada positivamente (no sentido anti-horário) e delimita uma região com área . Vamos precisar entender o Teorema de Green e como aplicá-lo aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele nos diz que, para uma curva fechada ointC F cdot dr = integral duplaB ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx,dy que delimita uma região :
Onde . Nesse caso, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x(3x - y) = 3
partial Ppartial y = partialpartial y(2x + y) = 1

Passo 4

Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
ointC F cdot dr = integral duplaB (3 - 1) dx,dy = integral duplaB 2 , dx,dy

Passo 5

A integral dupla ointC F cdot dr = 2alpha é simplesmente 2 vezes a área da região . Como a área de é , temos:

Resposta

integralC F cdot dr = 2alpha

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