([1], seção 16.4) ([2], seção 8.2) Use o Teorema de Green para calcular . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o Teorema.)
é uma curva fechada, simples, por partes, orientada no sentido positivo, cuja imagem é a fronteira de um compacto com área .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa calcular a integral de linha usando o Teorema de Green. A função vetorial dada é . A curva é fechada, simples, suave por partes, orientada positivamente (no sentido anti-horário) e delimita uma região com área . Vamos precisar entender o Teorema de Green e como aplicá-lo aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele nos diz que, para uma curva fechada que delimita uma região :
Onde . Nesse caso, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas necessárias:

Passo 4

Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:

Passo 5

A integral dupla é simplesmente 2 vezes a área da região . Como a área de é , temos:

Resposta

Exercícios relacionados

Calcule a integral de em .
é a região do plano cartesiano cujos pontos satisfazem a desigualdade e que, além disso, é delimitada pelas curvas que em coordenadas polares são dadas por
Atenção: Não se preocupe… as duas curvas que estão em coordenadas polares acima não tem pontos de interseção.
As curvas e delimitam uma região do plano. Use o teorema de Fubini e escreva a integral
nas formas
e
([1], seção 16.4) ([2], seção 8.2) Use o Teorema de Green para calcular . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o Teorema.)
é a fronteira do quadrado de vértices e .
Nos exercicios , encontre a derivada parcial da função em relação a cada variável.
Trabalho exercido pelo coração (Volume 1, Seção 3.10, Exercício 59)