([1], seção 16.4) ([2], seção 8.2) Use o Teorema de Green para calcular integralC F cdot d r. (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o Teorema.)
F(x, y)=4 x^3 y^3 i+(3 x^4 y^2+5 x) j, C é a fronteira do quadrado de vértices (-1,0),(0,-1),(1,0) e (0,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício que pede para calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. O Teorema de Green é uma ferramenta de cálculo vetorial que relaciona uma integral ao longo de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que essa curva delimita. No seu caso, vamos calcular a integral de linha da função vetorial F ao longo da curva C, que é a fronteira de um quadrado com vértices em , , e . Para isso, precisamos verificar a orientação da curva e aplicar o teorema passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teorema de Green. Ele diz que para um campo vetorial ointC F cdot dr = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx,dy , a integral de linha ao longo de uma curva fechada pode ser transformada em uma integral dupla sobre a região limitada por :
Então, vamos identificar e na sua função vetorial.

Passo 3

Dada a função , temos:
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais e .

Passo 4

Vamos calcular partial Qpartial x = partialpartial x (3x^4 y^2 + 5x) = 12x^3 y^2 + 5 :
partial Ppartial y = partialpartial y (4x^3 y^3) = 12x^3 y^2
Agora, calculamos :

Passo 5

Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx,dy = integral duplaD (12x^3 y^2 + 5 - 12x^3 y^2) dx,dy = integral duplaD 5,dx,dy
Então, a integral dupla simplifica para:
5 integral duplaD dx,dy
Isso significa que precisamos calcular a área da região e multiplicar por 5.

Passo 6

A região Área = d1 times d22 é a área dentro do quadrado com vértices em , , e . Esse quadrado é, na verdade, um losango com diagonais de comprimento 2 (de a ) e 2 (de a ).
A área de um losango pode ser calculada pela fórmula:
Á
onde e são os comprimentos das diagonais.

Passo 7

Calculando a área:
Área = 2 times 22 = 2 Á
Então, a integral dupla fica:
5 times 2 = 10

Resposta

A integral é igual a 10.

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