([1], seção 16.4) ([2], seção 8.2) Use o Teorema de Green para calcular
. (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o Teorema.)
é a fronteira do quadrado de vértices
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício que pede para calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. O Teorema de Green é uma ferramenta de cálculo vetorial que relaciona uma integral ao longo de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que essa curva delimita. No seu caso, vamos calcular a integral de linha da função vetorial F ao longo da curva C, que é a fronteira de um quadrado com vértices em
,
,
e
. Para isso, precisamos verificar a orientação da curva e aplicar o teorema passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teorema de Green. Ele diz que para um campo vetorial
, a integral de linha ao longo de uma curva fechada
pode ser transformada em uma integral dupla sobre a região
limitada por
:
Então, vamos identificar
e
na sua função vetorial.
Passo 3
Dada a função
, temos:
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais
e
.
Passo 4
Vamos calcular
:
Agora, calculamos
:
Passo 5
Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
Então, a integral dupla simplifica para:
Isso significa que precisamos calcular a área da região
e multiplicar por 5.
Passo 6
A região
é a área dentro do quadrado com vértices em
,
,
e
. Esse quadrado é, na verdade, um losango com diagonais de comprimento 2 (de
a
) e 2 (de
a
).
A área de um losango pode ser calculada pela fórmula:
onde
e
são os comprimentos das diagonais.
Passo 7
Calculando a área:
Então, a integral dupla fica:
Resposta
A integral
é igual a 10.