As curvas
e
delimitam uma região
do plano. Use o teorema de Fubini e escreva a integral
nas formas
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos duas curvas que delimitam uma região
no plano:
-
(uma parábola) -
(uma reta)
O conteúdo que vamos usar aqui é o Teorema de Fubini, que nos permite transformar uma integral dupla em integrais iteradas, facilitando os cálculos. Para resolver isso, vamos precisar identificar os limites de integração para
e
com base nas interseções dessas curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se encontram. Para isso, igualamos as duas expressões de
:
Resolvendo essa equação:
Agora, resolvemos a equação quadrática:
Assim, temos duas soluções:
Então, as curvas se intersectam nos pontos
e
.
Passo 3
Agora que sabemos onde as curvas se encontram, vamos identificar qual delas está acima ou abaixo na região
.
Tomando um valor entre 10 e 11, por exemplo,
:
Como
nesse intervalo, a reta está acima da parábola entre
e
.
Passo 4
Com essas informações, podemos configurar a integral dupla usando o Teorema de Fubini. Há duas formas principais de escrever essa integral iterada:
- Integrando primeiro em
e depois em :
- Integrando primeiro em
e depois em :
Para isso, precisamos expressar
em função de
para cada curva.
- Da reta:
- Da parábola:
. Para isolar , podemos rearranjar a equação, mas é mais fácil usar os limites de determinados pelas interseções.
Os limites de
vão do menor valor de
na interseção até o maior. Calculando em
:
E em
:
Portanto,
varia de
a
. Para cada
,
varia entre a parábola e a reta:
Onde
é a solução da parábola para
em função de
.
Resposta
A integral dupla usando o Teorema de Fubini nas duas formas é:
e