As curvas e delimitam uma região do plano. Use o teorema de Fubini e escreva a integral
nas formas
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos duas curvas que delimitam uma região no plano:
(uma parábola)
(uma reta)
O conteúdo que vamos usar aqui é o Teorema de Fubini, que nos permite transformar uma integral dupla em integrais iteradas, facilitando os cálculos. Para resolver isso, vamos precisar identificar os limites de integração para e com base nas interseções dessas curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se encontram. Para isso, igualamos as duas expressões de :
Resolvendo essa equação:
Agora, resolvemos a equação quadrática:
Assim, temos duas soluções:
Então, as curvas se intersectam nos pontos e .
Passo 3
Agora que sabemos onde as curvas se encontram, vamos identificar qual delas está acima ou abaixo na região .
Tomando um valor entre 10 e 11, por exemplo, :
Como nesse intervalo, a reta está acima da parábola entre e .
Passo 4
Com essas informações, podemos configurar a integral dupla usando o Teorema de Fubini. Há duas formas principais de escrever essa integral iterada:
Integrando primeiro em e depois em :
Integrando primeiro em e depois em :
Para isso, precisamos expressar em função de para cada curva.
Da reta:
Da parábola: . Para isolar , podemos rearranjar a equação, mas é mais fácil usar os limites de determinados pelas interseções.
Os limites de vão do menor valor de na interseção até o maior. Calculando em :
E em :
Portanto, varia de a . Para cada , varia entre a parábola e a reta:
Onde é a solução da parábola para em função de .
Resposta
A integral dupla usando o Teorema de Fubini nas duas formas é: