As curvas y=3 x^2-48 x+165 e y=151 x+-1651 delimitam uma região R do plano. Use o teorema de Fubini e escreva a integral
integral duplaR h(x, y) d A
nas formas
e

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos duas curvas que delimitam uma região no plano:
  1. (uma parábola)
  2. (uma reta)
O conteúdo que vamos usar aqui é o Teorema de Fubini, que nos permite transformar uma integral dupla em integrais iteradas, facilitando os cálculos. Para resolver isso, vamos precisar identificar os limites de integração para e com base nas interseções dessas curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se encontram. Para isso, igualamos as duas expressões de 3x^2 - 48x + 165 = 15x - 165 :
3x^2 - 48x + 165 - 15x + 165 = 0 3x^2 - 63x + 330 = 0 Dividindo todos os termos por 3: x^2 - 21x + 110 = 0
Resolvendo essa equação:
x = 21 pm raiz21^2 - 4 cdot 1 cdot 1102 x = 21 pm raiz441 - 4402 x = 21 pm raiz12 x = 21 pm 12
Agora, resolvemos a equação quadrática:
x = 222 = 11 e x = 202 = 10
Assim, temos duas soluções:
Então, as curvas se intersectam nos pontos e .

Passo 3

Agora que sabemos onde as curvas se encontram, vamos identificar qual delas está acima ou abaixo na região yparábola = 3(10.5)^2 - 48(10.5) + 165 yparábola = 3(110.25) - 504 + 165 yparábola = 330.75 - 504 + 165 yparábola = -8.25 .
Tomando um valor entre 10 e 11, por exemplo, yreta = 15(10.5) - 165 yreta = 157.5 - 165 yreta = -7.5 :
áááá
Como á nesse intervalo, a reta está acima da parábola entre e .

Passo 4

Com essas informações, podemos configurar a integral dupla usando o Teorema de Fubini. Há duas formas principais de escrever essa integral iterada:
  1. Integrando primeiro em integral duplaR h(x, y) , dA = integralx=10^11 integraly=3x^2 - 48x + 165^15x - 165 h(x, y) , dy , dx e depois em y = 15(10) - 165 = 150 - 165 = -15 :
y = 15(11) - 165 = 165 - 165 = 0
  1. Integrando primeiro em integral duplaR h(x, y) , dA = integraly=-15^0 integralxparábola(y)^xreta(y) h(x, y) , dx , dy e depois em :
Para isso, precisamos expressar em função de para cada curva.
  • Da reta:
  • Da parábola: . Para isolar , podemos rearranjar a equação, mas é mais fácil usar os limites de determinados pelas interseções.
Os limites de vão do menor valor de na interseção até o maior. Calculando em :
E em :
Portanto, varia de a . Para cada , varia entre a parábola e a reta:
á
Onde á é a solução da parábola para em função de .

Resposta

A integral dupla usando o Teorema de Fubini nas duas formas é:
integral duplaR h(x, y) , dA = integral10^11 integral3x^2 - 48x + 165^15x - 165 h(x, y) , dy , dx
e
integral duplaR h(x, y) , dA = integral-15^0 integraly + 16515^solução da parábola para x h(x, y) , dx , dy çãá

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