Nos exercicios , encontre a derivada parcial da função em relação a cada variável.
Trabalho exercido pelo coração (Volume 1, Seção 3.10, Exercício 59)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis , , , e . Este exercício está relacionado ao cálculo de derivadas parciais, que é uma parte da matemática utilizada para entender como uma função muda em relação a cada uma das suas variáveis quando as outras são mantidas constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma derivada parcial. A derivada parcial de uma função em relação a uma das suas variáveis mede a taxa de variação dessa função quando apenas essa variável varia, mantendo as outras constantes. No nosso caso, temos a função , e precisamos calcular suas derivadas parciais em relação a cada uma das variáveis mencionadas.

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada parcial de em relação a , denotada por .
A função é:
Ao derivar em relação a , tratamos como constantes:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , denotada por .
Derivando em relação a :
Aqui, utilizamos a regra da soma e a regra do produto ao derivar cada termo que contém .

Passo 5

Em seguida, calculamos a derivada parcial de em relação a , denotada por .
Derivando em relação a :
Neste caso, somente o segundo termo de depende de , então a derivada é simplesmente o coeficiente de multiplicado por .

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , denotada por .
Derivando em relação a :
Aqui, aplicamos a regra da potência ao derivar , que resulta em , e simplificamos com o denominador.

Passo 7

Por último, calculamos a derivada parcial de em relação a , denotada por .
Derivando em relação a :
Neste caso, usamos a regra da cadeia para derivar em relação a , levando em conta que está no denominador, o que resulta em uma derivada negativa.

Resposta

As derivadas parciais da função são:

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