Nos exercicios
, encontre a derivada parcial da função em relação a cada variável.
Trabalho exercido pelo coração (Volume 1, Seção 3.10, Exercício 59)
Trabalho exercido pelo coração (Volume 1, Seção 3.10, Exercício 59)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar as derivadas parciais da função
em relação a cada uma das variáveis
,
,
,
e
. Este exercício está relacionado ao cálculo de derivadas parciais, que é uma parte da matemática utilizada para entender como uma função muda em relação a cada uma das suas variáveis quando as outras são mantidas constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma derivada parcial. A derivada parcial de uma função em relação a uma das suas variáveis mede a taxa de variação dessa função quando apenas essa variável varia, mantendo as outras constantes. No nosso caso, temos a função
, e precisamos calcular suas derivadas parciais em relação a cada uma das variáveis mencionadas.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada parcial de
em relação a
, denotada por
.
A função
é:
Ao derivar em relação a
, tratamos
como constantes:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, denotada por
.
Derivando
em relação a
:
Aqui, utilizamos a regra da soma e a regra do produto ao derivar cada termo que contém
.
Passo 5
Em seguida, calculamos a derivada parcial de
em relação a
, denotada por
.
Derivando
em relação a
:
Neste caso, somente o segundo termo de
depende de
, então a derivada é simplesmente o coeficiente de
multiplicado por
.
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, denotada por
.
Derivando
em relação a
:
Aqui, aplicamos a regra da potência ao derivar
, que resulta em
, e simplificamos com o denominador.
Passo 7
Por último, calculamos a derivada parcial de
em relação a
, denotada por
.
Derivando
em relação a
:
Neste caso, usamos a regra da cadeia para derivar em relação a
, levando em conta que
está no denominador, o que resulta em uma derivada negativa.
Resposta
As derivadas parciais da função
são:
Exercícios relacionados
([1], seção 16.4) ([2], seção 8.2) Use o Teorema de Green para calcular
. (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o Teorema.)
é a fronteira do quadrado de vértices
e
.
([1], seção 16.4) ([2], seção 8.2) Use o Teorema de Green para calcular
. (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o Teorema.)
é uma curva fechada, simples,
por partes, orientada no sentido positivo, cuja imagem é a fronteira de um compacto
com área
.
Calculando derivadas parciais de segunda ordem
Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funçöes nos exercícios 41-46.
Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funçöes nos exercícios 41-46.
Nos exercicios
, encontre a derivada parcial da função em relação a cada variável.