Calculando derivadas parciais de segunda ordem
Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funçöes nos exercícios 41-46.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem a função e precisa encontrar todas as suas derivadas parciais de segunda ordem. Isso envolve calcular como a função muda quando a gente varia ou ou ambos, duas vezes seguidas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada parcial de em relação a . Isso significa que a gente vai derivar a função considerando como uma constante.
A função original é:
Derivando em relação a :

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de em relação a novamente. Isso é derivar a primeira derivada em relação a .
Derivando em relação a :

Passo 4

Vamos agora calcular a primeira derivada parcial de em relação a . Aqui, é tratado como constante.
A função original:
Derivando em relação a :

Passo 5

Por último, vamos calcular a segunda derivada parcial de em relação a novamente. Derivamos a primeira derivada em relação a .
Derivando em relação a :

Passo 6

Além disso, temos as derivadas mistas, que são derivar uma vez em relação a e outra em relação a (e vice-versa).
Primeiro, derivando em relação a :
E derivando em relação a :

Resposta

Todas as derivadas parciais de segunda ordem da função são:

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