Calculando derivadas parciais de segunda ordem
Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funçöes nos exercícios 41-46.
Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funçöes nos exercícios 41-46.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem a função
e precisa encontrar todas as suas derivadas parciais de segunda ordem. Isso envolve calcular como a função muda quando a gente varia
ou
ou ambos, duas vezes seguidas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada parcial de
em relação a
. Isso significa que a gente vai derivar a função considerando
como uma constante.
A função original é:
Derivando em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
novamente. Isso é derivar a primeira derivada
em relação a
.
Derivando em relação a
:
Passo 4
Vamos agora calcular a primeira derivada parcial de
em relação a
. Aqui,
é tratado como constante.
A função original:
Derivando em relação a
:
Passo 5
Por último, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
novamente. Derivamos a primeira derivada
em relação a
.
Derivando em relação a
:
Passo 6
Além disso, temos as derivadas mistas, que são derivar uma vez em relação a
e outra em relação a
(e vice-versa).
Primeiro, derivando
em relação a
:
E derivando
em relação a
:
Resposta
Todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
são:
Exercícios relacionados
Nos exercicios
, encontre a derivada parcial da função em relação a cada variável.
Trabalho exercido pelo coração (Volume 1, Seção 3.10, Exercício 59)
Trabalho exercido pelo coração (Volume 1, Seção 3.10, Exercício 59)
([1], seção 16.4) ([2], seção 8.2) Use o Teorema de Green para calcular
. (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o Teorema.)
é a fronteira do quadrado de vértices
e
.
Nos exercicios
, encontre a derivada parcial da função em relação a cada variável.
Nos exercicios
, encontre a derivada parcial da função em relação a cada variável.
Fórmula do tamanho do lote de Wilson (Volume I, Seção 4.5, Exercício 45)
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