Calculando derivadas parciais de segunda ordem
Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funçöes nos exercícios 41-46.
Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funçöes nos exercícios 41-46.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem a função
e precisa encontrar todas as suas derivadas parciais de segunda ordem. Isso envolve calcular como a função muda quando a gente varia
ou
ou ambos, duas vezes seguidas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada parcial de
em relação a
. Isso significa que a gente vai derivar a função considerando
como uma constante.
A função original é:
Derivando em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
novamente. Isso é derivar a primeira derivada
em relação a
.
Derivando em relação a
:
Passo 4
Vamos agora calcular a primeira derivada parcial de
em relação a
. Aqui,
é tratado como constante.
A função original:
Derivando em relação a
:
Passo 5
Por último, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
novamente. Derivamos a primeira derivada
em relação a
.
Derivando em relação a
:
Passo 6
Além disso, temos as derivadas mistas, que são derivar uma vez em relação a
e outra em relação a
(e vice-versa).
Primeiro, derivando
em relação a
:
E derivando
em relação a
:
Resposta
Todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
são: