(a) P(X=10) ; P(X <= 7) ; P(X >= 7) ; P(7 <= X <= 12); para X sim Bi(12,0.6).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos várias probabilidades envolvendo uma variável aleatória binomial. Especificamente, temos X sim Bi(12, 0.6), ou seja, X segue uma distribuição binomial com 12 tentativas e probabilidade de sucesso de 0.6 em cada tentativa. Vamos calcular:
  • P(X=10)
  • P(X <= 7)
  • P(X >= 7)
  • P(7 <= X <= 12)
Para isso, vamos usar a fórmula da distribuição binomial e entender como aplicá-la passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da distribuição binomial. A probabilidade de obter exatamente k sucessos em n tentativas é dada por:
P(X = k) = binomnk p^k (1 - p)^n - k
Onde:
  • binomnk é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher k sucessos em n tentativas.
  • p é a probabilidade de sucesso em uma tentativa.
  • (1 - p) é a probabilidade de fracasso em uma tentativa.
Vamos usar essa fórmula para calcular cada uma das probabilidades pedidas.

Passo 3

Vamos calcular P(X=10). Usando a fórmula binomial:
P(X=10) = binom1210 (0.6)^10 (0.4)^2
Primeiro, calculamos o coeficiente binomial binom1210:
binom1210 = 12!10! cdot 2! = 12 times 112 times 1 = 66
Agora, substituímos na fórmula:
P(X=10) = 66 times (0.6)^10 times (0.4)^2
Calculando os valores numéricos:
(0.6)^10 approx 0.0060466176 (0.4)^2 = 0.16 P(X=10) approx 66 times 0.0060466176 times 0.16 approx 0.0638

Passo 4

Agora, vamos calcular P(X <= 7). Isso significa a probabilidade de obter 7 ou menos sucessos em 12 tentativas. Para isso, vamos somar as probabilidades de X=0 até X=7:
P(X <= 7) = sumk=0^7 binom12k (0.6)^k (0.4)^12 - k
Esse cálculo envolve somar 8 termos, o que pode ser feito usando uma calculadora ou software estatístico. Após calcular e somar todos os termos, obtemos aproximadamente:
P(X <= 7) approx 0.286

Passo 5

Em seguida, vamos calcular P(X >= 7). Isso é a probabilidade de obter 7 ou mais sucessos, ou seja, de X=7 até X=12. Podemos calcular diretamente ou usar a complementar:
P(X >= 7) = 1 - P(X <= 6)
Calculando P(X <= 6) da mesma forma que no passo anterior e subtraindo de 1, obtemos:
P(X >= 7) approx 0.714

Passo 6

Finalmente, vamos calcular P(7 <= X <= 12). Isso é equivalente a P(X >= 7), já que X não pode ser maior que 12. Portanto:
P(7 <= X <= 12) = P(X >= 7) approx 0.714

Resposta

As probabilidades são aproximadamente:
  • P(X=10) approx 0.064
  • P(X <= 7) approx 0.286
  • P(X >= 7) approx 0.714
  • P(7 <= X <= 12) approx 0.714

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