(a)
; para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos várias probabilidades envolvendo uma variável aleatória binomial. Especificamente, temos
, ou seja,
segue uma distribuição binomial com 12 tentativas e probabilidade de sucesso de 0.6 em cada tentativa. Vamos calcular:
Para isso, vamos usar a fórmula da distribuição binomial e entender como aplicá-la passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da distribuição binomial. A probabilidade de obter exatamente
sucessos em
tentativas é dada por:
Onde:
-
é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher sucessos em tentativas. -
é a probabilidade de sucesso em uma tentativa. -
é a probabilidade de fracasso em uma tentativa.
Vamos usar essa fórmula para calcular cada uma das probabilidades pedidas.
Passo 3
Vamos calcular
. Usando a fórmula binomial:
Primeiro, calculamos o coeficiente binomial
:
Agora, substituímos na fórmula:
Calculando os valores numéricos:
Passo 4
Agora, vamos calcular
. Isso significa a probabilidade de obter 7 ou menos sucessos em 12 tentativas. Para isso, vamos somar as probabilidades de
até
:
Esse cálculo envolve somar 8 termos, o que pode ser feito usando uma calculadora ou software estatístico. Após calcular e somar todos os termos, obtemos aproximadamente:
Passo 5
Em seguida, vamos calcular
. Isso é a probabilidade de obter 7 ou mais sucessos, ou seja, de
até
. Podemos calcular diretamente ou usar a complementar:
Calculando
da mesma forma que no passo anterior e subtraindo de 1, obtemos:
Passo 6
Finalmente, vamos calcular
. Isso é equivalente a
, já que
não pode ser maior que 12. Portanto:
Resposta
As probabilidades são aproximadamente: