© Calcule, usando a função
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular algumas probabilidades usando a função de distribuição acumulada, que é $ F(x) $. Esse tipo de função nos ajuda a encontrar a probabilidade de que uma variável aleatória $ X $ seja menor ou igual a um certo valor $ x $. Para resolver esse exercício, vamos precisar entender como usar $ F(x) $ para encontrar as probabilidades pedidas:
- $ P(X \leq 1) $
- $ P(X < 3) $
- $ P(X \geq 1) $
- $ P(0 < X \leq 5 \mid X \geq 3) $
Vamos resolver cada uma dessas probabilidades passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular $ P(X \leq 1) $. A função de distribuição acumulada $ F(x) $ nos dá exatamente essa probabilidade diretamente. Ou seja:
Isso significa que, para encontrar a probabilidade de $ X $ ser menor ou igual a 1, basta verificar o valor de $ F(1) $ na função de distribuição fornecida.
Passo 3
Agora, vamos para $ P(X < 3) $. Para variáveis contínuas, a diferença entre $ P(X \leq 3) $ e $ P(X < 3) $ geralmente é zero, já que a probabilidade de $ X $ ser exatamente igual a 3 é nula. Portanto:
Então, igual ao passo anterior, usamos a função $ F(x) $ diretamente para encontrar a probabilidade de $ X $ ser menor que 3.
Passo 4
Em seguida, vamos calcular $ P(X \geq 1) $. Essa é a probabilidade de $ X $ ser maior ou igual a 1. Podemos usar a propriedade das probabilidades complementares aqui. Sabemos que:
E, como vimos antes, $ P(X < 1) = F(1) $. Então:
Isso nos dá a probabilidade de $ X $ estar acima de 1.
Passo 5
Por último, vamos calcular a probabilidade condicional $ P(0 < X \leq 5 \mid X \geq 3) $. Isso quer dizer a probabilidade de $ X $ estar entre 0 e 5, dado que já sabemos que $ X $ é maior ou igual a 3.
A fórmula para probabilidade condicional é:
Aqui, $ A $ é o evento $ 0 < X \leq 5 $ e $ B $ é o evento $ X \geq 3 $. Então:
Para calcular $ P(3 \leq X \leq 5) $, usamos:
E já sabemos que $ P(X \geq 3) = 1 - F(3) $. Então, substituindo na fórmula:
Isso nos dá a probabilidade condicional que precisamos.
Resposta
Seguindo os passos acima, as probabilidades são:
- $ P(X \leq 1) = F(1) $
- $ P(X < 3) = F(3) $
- $ P(X \geq 1) = 1 - F(1) $
- $ P(0 < X \leq 5 \mid X \geq 3) = \frac{F(5) - F(3)}{1 - F(3)} $