1. Num armazém estão 500 embalagens das quais, 50 se encontram deterioradas. Suponha que é efectuada uma inspeção por uma entidade externa. Essa entidade escolhe uma amostra de 10 embalagens, com reposição e se na amostra houver 3 ou mais embalagens deterioradas o lote é rejeitado e posteriormente destruído.
    (a) Qual é a probabilidade da inspeção rejeitar o lote?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um armazém com 500 embalagens, das quais 50 estão deterioradas. Uma entidade externa vai inspecionar esse armazém escolhendo 10 embalagens, uma de cada vez, e com reposição (ou seja, cada vez que escolhemos uma embalagem, ela volta para o total de 500). Se, nessa amostra de 10 embalagens, houver 3 ou mais deterioradas, o lote todo é rejeitado e destruído.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de probabilidade, especificamente a distribuição binomial, que é usada para calcular a probabilidade de um certo número de sucessos em uma sequência de tentativas independentes.

Passo 2

Primeiro, precisamos determinar a probabilidade de selecionar uma embalagem deteriorada em uma única tentativa. Como há 50 embalagens deterioradas em 500, a probabilidade de selecionar uma deteriorada é:
p = 50500 = 0,1
Isso significa que, em cada seleção, há 10% de chance de a embalagem estar deteriorada.

Passo 3

Agora, queremos saber a probabilidade de, em 10 seleções (com reposição), obter 3 ou mais embalagens deterioradas. Para isso, vamos usar a distribuição binomial, que nos ajuda a calcular a probabilidade de obter exatamente k sucessos (embalagens deterioradas) em n tentativas (seleções).
A fórmula da distribuição binomial é:
P(X = k) = binomnk p^k (1 - p)^n - k
Onde:
  • $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher binomnk sucessos em k tentativas.
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa.
  • $ n $ é o número total de tentativas.
  • $ k $ é o número de sucessos desejados.

Passo 4

No nosso caso, queremos a probabilidade de ter 3 ou mais embalagens deterioradas em 10 seleções. Isso significa que precisamos calcular:
P(X >= 3) = 1 - P(X <= 2)
Ou seja, vamos calcular a probabilidade de ter no máximo 2 embalagens deterioradas e subtrair esse valor de 1.

Passo 5

Vamos calcular $ P(X \leq 2) $, que é a soma das probabilidades de ter 0, 1 ou 2 embalagens deterioradas:
P(X <= 2)
Vamos calcular cada termo usando a fórmula da distribuição binomial.

Passo 6

Calculando $ P(X = 0) $:
P(X = 0)
Calculando $ P(X = 1) $:
P(X = 0) = binom100 (0,1)^0 (0,9)^10 = 1 times 1 times 0,3487 approx 0,3487
Calculando $ P(X = 2) $:
P(X = 1)

Passo 7

Agora, somamos essas probabilidades:
P(X <= 2) = 0,3487 + 0,3874 + 0,1937 = 0,9298

Passo 8

Finalmente, para encontrar a probabilidade de rejeitar o lote, subtraímos essa soma de 1:
P(X >= 3) = 1 - 0,9298 = 0,0702

Resposta

A probabilidade da inspeção rejeitar o lote é de aproximadamente 7,02%.

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