- Num armazém estão 500 embalagens das quais, 50 se encontram deterioradas. Suponha que é efectuada uma inspeção por uma entidade externa. Essa entidade escolhe uma amostra de 10 embalagens, com reposição e se na amostra houver 3 ou mais embalagens deterioradas o lote é rejeitado e posteriormente destruído.
(a) Qual é a probabilidade da inspeção rejeitar o lote?
(a) Qual é a probabilidade da inspeção rejeitar o lote?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um armazém com 500 embalagens, das quais 50 estão deterioradas. Uma entidade externa vai inspecionar esse armazém escolhendo 10 embalagens, uma de cada vez, e com reposição (ou seja, cada vez que escolhemos uma embalagem, ela volta para o total de 500). Se, nessa amostra de 10 embalagens, houver 3 ou mais deterioradas, o lote todo é rejeitado e destruído.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de probabilidade, especificamente a distribuição binomial, que é usada para calcular a probabilidade de um certo número de sucessos em uma sequência de tentativas independentes.
Passo 2
Primeiro, precisamos determinar a probabilidade de selecionar uma embalagem deteriorada em uma única tentativa. Como há 50 embalagens deterioradas em 500, a probabilidade de selecionar uma deteriorada é:
Isso significa que, em cada seleção, há 10% de chance de a embalagem estar deteriorada.
Passo 3
Agora, queremos saber a probabilidade de, em 10 seleções (com reposição), obter 3 ou mais embalagens deterioradas. Para isso, vamos usar a distribuição binomial, que nos ajuda a calcular a probabilidade de obter exatamente
sucessos (embalagens deterioradas) em
tentativas (seleções).
A fórmula da distribuição binomial é:
Onde:
- $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher
sucessos em tentativas. - $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa.
- $ n $ é o número total de tentativas.
- $ k $ é o número de sucessos desejados.
Passo 4
No nosso caso, queremos a probabilidade de ter 3 ou mais embalagens deterioradas em 10 seleções. Isso significa que precisamos calcular:
Ou seja, vamos calcular a probabilidade de ter no máximo 2 embalagens deterioradas e subtrair esse valor de 1.
Passo 5
Vamos calcular $ P(X \leq 2) $, que é a soma das probabilidades de ter 0, 1 ou 2 embalagens deterioradas:
Vamos calcular cada termo usando a fórmula da distribuição binomial.
Passo 6
Calculando $ P(X = 0) $:
Calculando $ P(X = 1) $:
Calculando $ P(X = 2) $:
Passo 7
Agora, somamos essas probabilidades:
Passo 8
Finalmente, para encontrar a probabilidade de rejeitar o lote, subtraímos essa soma de 1:
Resposta
A probabilidade da inspeção rejeitar o lote é de aproximadamente 7,02%.