(3) [10] Uma barra de chumbo ( k=35,3 W /(mK) ) com 15 cm de comprimento é colada pela extremidade numa barra de cobre ( k=401 W /(mK) ) de 25 cm de comprimento. As duas barras são perfeitamente isoladas em suas partes laterais. As seções transversais das duas barras são iguais a um quadrado com lados iguais a 12 mm . A extremidade livre da barra de chumbo encontra-se fixada numa parede que é mantida a 120^circ C, e a extremidade livre da barra de cobre é fixada numa parede que é mantida a 15^circ C. Calcular a temperatura na junção entre as duas barras e a taxa total de transferência de calor.

Passo 1

Resumo do Problema e Conceitos Envolvidos
Então, estamos lidando com um exercício que envolve condução de calor em duas barras metálicas diferentes: uma de chumbo e outra de cobre. As barras estão coladas juntas e têm comprimentos e condutividades térmicas diferentes. Além disso, as extremidades livres de cada barra estão fixadas em paredes com temperaturas conhecidas. Precisamos descobrir qual é a temperatura na junção das duas barras e qual é a taxa total de transferência de calor entre elas.
Para resolver isso, vamos usar a Lei da Condução de Fourier, que nos ajuda a calcular o fluxo de calor através de um material. Vamos precisar considerar que as duas barras estão em estado estacionário, ou seja, a quantidade de calor que entra é igual à que sai, garantindo que a taxa de transferência de calor seja a mesma nas duas barras.

Passo 2

Entendendo a Lei da Condução de Fourier
A Lei de Fourier nos diz que a taxa de transferência de calor (Q) através de um material é dada por:
Q = k cdot A cdot De
Onde:
  • é a condutividade térmica do material (em W/(m·K))
  • é a área da seção transversal (em m²)
  • é a diferença de temperatura através do material (em K ou °C)
  • é o comprimento do material (em m)
Como as duas barras estão conectadas e em estado estacionário, a quantidade de calor que passa pela barra de chumbo é igual à que passa pela barra de cobre.

Passo 3

Calculando a Área da Seção Transversal
Primeiro, precisamos calcular a área da seção transversal comum às duas barras. Como a seção é um quadrado com lados de 12 mm, vamos converter para metros:
12 , mm = 0,012 , m
Então, a área A = lado times lado = 0,012 , m times 0,012 , m = 0,000144 , m² é:
²

Passo 4

Estabelecendo as Equações de Condução para Cada Barra
Vamos chamar Q = kPb cdot A cdot (Tjunção - Tquente)LPb de Q = kCu cdot A cdot (Tfrio - Tjunção)LCu çã, a temperatura que queremos encontrar.
Para a barra de chumbo:
kPb cdot A cdot (Tjunção - Tquente)LPb = kCu cdot A cdot (Tfrio - Tjunção)LCu çã
Para a barra de cobre:
çã
Como é a mesma nas duas barras:
çãçã

Passo 5

Simplificando a Equação para Encontrar kPb cdot (Tj - Tquente)LPb = kCu cdot (Tfrio - Tj)LCu çã
Podemos cancelar a área kPb cdot LCu cdot (Tj - Tquente) = kCu cdot LPb cdot (Tfrio - Tj) de ambos os lados:
kPb cdot LCu cdot Tj - kPb cdot LCu cdot Tquente = kCu cdot LPb cdot Tfrio - kCu cdot LPb cdot Tj
Agora, vamos isolar Tj cdot (kPb cdot LCu + kCu cdot LPb) = kCu cdot LPb cdot Tfrio + kPb cdot LCu cdot Tquente :
Tj = kCu cdot LPb cdot Tfrio + kPb cdot LCu cdot TquentekPb cdot LCu + kCu cdot LPb
Agora, reunimos os termos com de um lado:
Finalmente, isolamos :

Passo 6

Substituindo os Valores Conhecidos
Vamos agora inserir os valores fornecidos:
kPb = 35,3 , W/(m·K)
kCu = 401 , W/(m·K)
LPb = 0,15 , m
LCu = 0,25 , m
Tquente = 120,°C
Tfrio = 15,°C
Substituindo na fórmula:
Tj = 401 times 0,15 times 15 + 35,3 times 0,25 times 12035,3 times 0,25 + 401 times 0,15

Passo 7

Calculando os Termos Numeradores e Denominadores
Primeiro, calculamos o numerador:
401 times 0,15 times 15 = 401 times 2,25 = 902,25
35,3 times 0,25 times 120 = 35,3 times 30 = 1059
Numerador total = 902,25 + 1059 = 1961,25
Agora, o denominador:
35,3 times 0,25 = 8,825
401 times 0,15 = 60,15
Denominador total = 8,825 + 60,15 = 68,975

Passo 8

Obtendo a Temperatura na Junção
Agora, dividimos o numerador pelo denominador:
Tj = 1961,2568,975 approx 28,43,°C

Passo 9

Calculando a Taxa Total de Transferência de Calor ( Q = kPb cdot A cdot (Tj - Tquente)LPb )
Vamos usar a fórmula de Fourier com a barra de chumbo:
Q = 35,3 times 0,000144 times (28,43 - 120)0,15
Substituindo os valores:
28,43 - 120 = -91,57,°C
Primeiro, calculamos 35,3 times 0,000144 = 0,0050832 :
0,0050832 times (-91,57) = -0,465297
Agora, multiplicamos:
Q = -0,4652970,15 approx -3,102 , W
Q approx 3,10 , W
O sinal negativo indica que o fluxo de calor está na direção oposta do que consideramos inicialmente, mas como estamos interessados na taxa, podemos considerar o valor positivo:

Resposta

A temperatura na junção entre as duas barras é aproximadamente e a taxa total de transferência de calor é cerca de .

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