(3) [10] Uma barra de chumbo (
) com 15 cm de comprimento é colada pela extremidade numa barra de cobre (
) de 25 cm de comprimento. As duas barras são perfeitamente isoladas em suas partes laterais. As seções transversais das duas barras são iguais a um quadrado com lados iguais a 12 mm . A extremidade livre da barra de chumbo encontra-se fixada numa parede que é mantida a
, e a extremidade livre da barra de cobre é fixada numa parede que é mantida a
. Calcular a temperatura na junção entre as duas barras e a taxa total de transferência de calor.
Passo 1
Resumo do Problema e Conceitos Envolvidos
Então, estamos lidando com um exercício que envolve condução de calor em duas barras metálicas diferentes: uma de chumbo e outra de cobre. As barras estão coladas juntas e têm comprimentos e condutividades térmicas diferentes. Além disso, as extremidades livres de cada barra estão fixadas em paredes com temperaturas conhecidas. Precisamos descobrir qual é a temperatura na junção das duas barras e qual é a taxa total de transferência de calor entre elas.
Para resolver isso, vamos usar a Lei da Condução de Fourier, que nos ajuda a calcular o fluxo de calor através de um material. Vamos precisar considerar que as duas barras estão em estado estacionário, ou seja, a quantidade de calor que entra é igual à que sai, garantindo que a taxa de transferência de calor seja a mesma nas duas barras.
Passo 2
Entendendo a Lei da Condução de Fourier
A Lei de Fourier nos diz que a taxa de transferência de calor (Q) através de um material é dada por:
Onde:
-
é a condutividade térmica do material (em W/(m·K)) -
é a área da seção transversal (em m²) -
é a diferença de temperatura através do material (em K ou °C) -
é o comprimento do material (em m)
Como as duas barras estão conectadas e em estado estacionário, a quantidade de calor que passa pela barra de chumbo é igual à que passa pela barra de cobre.
Passo 3
Calculando a Área da Seção Transversal
Primeiro, precisamos calcular a área da seção transversal comum às duas barras. Como a seção é um quadrado com lados de 12 mm, vamos converter para metros:
Então, a área
é:
Passo 4
Estabelecendo as Equações de Condução para Cada Barra
Vamos chamar
de
, a temperatura que queremos encontrar.
Para a barra de chumbo:
Para a barra de cobre:
Como
é a mesma nas duas barras:
Passo 5
Simplificando a Equação para Encontrar
Podemos cancelar a área
de ambos os lados:
Agora, vamos isolar
:
Agora, reunimos os termos com
de um lado:
Finalmente, isolamos
:
Passo 6
Substituindo os Valores Conhecidos
Vamos agora inserir os valores fornecidos:
Substituindo na fórmula:
Passo 7
Calculando os Termos Numeradores e Denominadores
Primeiro, calculamos o numerador:
Agora, o denominador:
Passo 8
Obtendo a Temperatura na Junção
Agora, dividimos o numerador pelo denominador:
Passo 9
Calculando a Taxa Total de Transferência de Calor (
)
Vamos usar a fórmula de Fourier com a barra de chumbo:
Substituindo os valores:
Primeiro, calculamos
:
Agora, multiplicamos:
O sinal negativo indica que o fluxo de calor está na direção oposta do que consideramos inicialmente, mas como estamos interessados na taxa, podemos considerar o valor positivo:
Resposta
A temperatura na junção entre as duas barras é aproximadamente
e a taxa total de transferência de calor é cerca de
.
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Considere que os fluidos têm propriedades de transporte similares e adote:Pa.s para os cálculos. O misturador em T está conectado em um tubo de diâmetro 5 cm e 5 m de comprimento. Considerando a simulação de sistema por CFD, responda: - Se o tubo é perfeitamente isolado, qual condição de contorno deve ser usada nas paredes do tubo para solução do balanço de energia?