Uma fita deve ser coberta nos dois lados com lubrificante, fazendo-a passar por uma fenda estreita. A fita tem altura de 0,015 in e 1 in de largura. Ela está centrada na fenda com um espaçamento de 0,012 in em cada lado. O lubrificante de viscosidade 0,021 slug/ft s enche completamente o espaço entre a fita e a fenda para um comprimento de fita de 0,75 in. Se a fita pode suportar uma força de tensão máxima de 7,5 lbf, determine a velocidade máxima com a qual ela pode ser puxada através da fenda. Resposta:
Passo 1
Tudo bem! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão fala sobre como uma fita passa por uma fenda estreita e está coberta com lubrificante. A gente vai usar conceitos de viscosidade de fluidos para descobrir a velocidade máxima que a fita pode ter sem estourar a força de tensão que ela suporta. Vamos precisar das informações sobre as dimensões da fita, do espaçamento na fenda, da viscosidade do lubrificante, do comprimento da fita e da força máxima que a fita pode aguentar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as dimensões envolvidas. A fita tem:
- Altura: 0,015 polegadas
- Largura: 1 polegada
Ela está centrada na fenda com um espaço de:
- Espaçamento de cada lado: 0,012 polegadas
E o lubrificante preenche completamente esse espaço para um:
- Comprimento da fita: 0,75 polegadas
Passo 3
Agora, vamos calcular a área de contato onde o lubrificante está agindo. Essa área é importante porque a força de tensão é relacionada à viscosidade do lubrificante, à área e à velocidade com que a fita se move.
A área
pode ser calculada multiplicando a largura da fita pelo comprimento que está sendo lubrificado:
Passo 4
Precisamos trabalhar com unidades consistentes. Vamos converter as medidas para pés, já que a viscosidade está em slug/ft·s e a força em libras-força (lbf).
Sabemos que:
Convertendo a área para pés quadrados:
Passo 5
A força de tensão
exercida pelo lubrificante pode ser relacionada à viscosidade
, área
e velocidade
pela fórmula da lei de Newton para fluidos viscosos:
Queremos encontrar a velocidade máxima
, então rearranjamos a fórmula:
Passo 6
Vamos substituir os valores conhecidos na fórmula:
Substituindo:
Passo 7
Parece que houve um erro nos cálculos anteriores. Vamos revisar os passos para identificar onde está o problema.
Na verdade, a viscosidade dada está em unidades de
, mas para relacionar com a força em libras-força, precisamos usar a relação correta de unidades ou converter a viscosidade para unidades compatíveis.
Vamos usar a relação correta:
Isolando
:
Usando os valores:
No entanto, percebemos que o resultado é muito maior que o esperado. Isso indica que precisamos reconsiderar as unidades ou a fórmula utilizada.
Passo 8
Uma abordagem alternativa é considerar a força viscosa como:
Onde
é a distância entre a fita e a fenda (0,012 in = 0,001 ft).
Rearranjando para
:
Substituindo os valores:
Ainda não coincide com a resposta esperada. Vamos verificar as conversões de unidades novamente.
Passo 9
Considerando que a viscosidade dinâmica
em
pode estar relacionada à viscosidade em outras unidades, e que
, ajustamos as unidades:
Ainda o resultado não bate. Parece que precisamos ajustar a conversão de viscosidade.
Passo 10
A viscosidade
deve estar em unidades consistentes com força e área. Por isso, é necessário converter a viscosidade para
.
Sabemos que:
E considerando
, convertemos para
:
Agora, usamos: