Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida de de 0 até . Isso está relacionado ao cálculo integral, especificamente à antiderivação e avaliação de integrais definidas. Para resolver, vamos precisar encontrar a antiderivada de cada termo da função e depois calcular a diferença entre os valores nas extremidades do intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a antiderivada de cada termo da função . A antiderivada é basicamente a função cuja derivada nos dá o que temos dentro da integral.

Passo 3

A antiderivada de é . Isso porque, ao derivar , aplicamos a regra do poder e multiplicamos o expoente 5 pelo coeficiente, que cancela o denominador, retornando a .

Passo 4

A antiderivada de é . Similarmente, multiplicamos o coeficiente -8 por , resultando em .

Passo 5

A antiderivada de 7 é . Como a derivada de é 7, essa é a antiderivada correta.

Passo 6

Agora, juntando todas as antiderivadas, temos:
Essa é a antiderivada da função original.

Passo 7

Para calcular a integral definida de 0 até , substituímos e 0 na antiderivada e subtraímos os resultados:
Como todas as expressões com 0 são zero, ficamos apenas com o primeiro termo.

Resposta

A integral definida de até de é:

Exercícios relacionados

Calcule o limite, , quando existir. Caso contrário, justifique.
(b) Use a definição de integral definida (com as extremidades direitas) para calcular o valor da integral
Determine: no instante .