Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular
. Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente integrais definidas de funções polinomiais. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra básica de integração e, se necessário, fazer uma substituição para facilitar.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a função que estamos integrando:
. Integrar essa função diretamente pode ser um pouco trabalhoso, então vamos simplificar usando uma substituição. Vamos deixar
. Isso vai nos ajudar a transformar a integral em algo mais fácil de resolver.
Passo 3
Com a substituição
, precisamos também mudar
para termos em
. Derivando ambos os lados em relação a
, temos
, ou seja,
. Além disso, precisamos ajustar os limites de integração:
- Quando
, . - Quando
, .
Então, a integral original se transforma em:
(Note que ao trocar os limites, o sinal negativo se cancela invertendo os limites de integração.)
Passo 4
Agora, a integral ficou mais simples:
. Para integrar
, usamos a regra de potência para integrais, que diz que
, onde
é a constante de integração.
Aplicando essa regra:
Passo 5
Como estamos lidando com uma integral definida, vamos aplicar os limites de integração de 0 a 1:
Resposta
O valor da integral
é
.
Exercícios relacionados
Determine:
no instante
.
Considere a função
Mostre que
, por sua vez, não é contínua em
.