1. integral0^1(1-x)^9 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular integral0^1(1-x)^9 , dx. Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente integrais definidas de funções polinomiais. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra básica de integração e, se necessário, fazer uma substituição para facilitar.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função que estamos integrando: (1 - x)^9. Integrar essa função diretamente pode ser um pouco trabalhoso, então vamos simplificar usando uma substituição. Vamos deixar u = 1 - x. Isso vai nos ajudar a transformar a integral em algo mais fácil de resolver.

Passo 3

Com a substituição u = 1 - x, precisamos também mudar dx para termos em du. Derivando ambos os lados em relação a x, temos du = -dx, ou seja, dx = -du. Além disso, precisamos ajustar os limites de integração:
  • Quando x = 0, u = 1 - 0 = 1.
  • Quando x = 1, u = 1 - 1 = 0.
Então, a integral original se transforma em:
integralx=0^x=1 (1 - x)^9 , dx = integralu=1^u=0 u^9 , (-du) = integral0^1 u^9 , du
(Note que ao trocar os limites, o sinal negativo se cancela invertendo os limites de integração.)

Passo 4

Agora, a integral ficou mais simples: integral0^1 u^9 , du. Para integrar u^9, usamos a regra de potência para integrais, que diz que integral u^n , du = u^n+1n+1 + C, onde C é a constante de integração.
Aplicando essa regra:
integral u^9 , du = u^1010 + C

Passo 5

Como estamos lidando com uma integral definida, vamos aplicar os limites de integração de 0 a 1:
[ u^1010 ]0^1 = 1^1010 - 0^1010 = 110 - 0 = 110

Resposta

O valor da integral integral0^1(1-x)^9 , dx é 110.

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