(b) Use a definição de integral definida (com as extremidades direitas) para calcular o valor da integral
integral0^2(x^2-x) d x

Passo 1

Oi! Vamos resolver a integral usando a definição de integral definida com extremidades direitas. Isso envolve frações de Riemann, que é uma maneira de somar pequenas áreas para encontrar a integral.

Passo 2

Primeiro, dividimos o intervalo de 0 a 2 em partes iguais. Cada parte terá uma largura .

Passo 3

Como vamos usar as extremidades direitas, escolhemos o ponto direito de cada subintervalo para calcular a função. Assim, os pontos serão , onde vai de 1 até .

Passo 4

A soma de Riemann com extremidades direitas fica assim:
Sn = sumi=1^n ( (2in)^2 - 2in ) cdot 2n

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da soma:
(4i^2n^2 - 2in) cdot 2n = 8i^2n^3 - 4in^2

Passo 6

Assim, a soma fica:
Sn = sumi=1^n ( 8i^2n^3 - 4in^2 ) = 8n^3 sumi=1^n i^2 - 4n^2 sumi=1^n i

Passo 7

Sabemos que:
sumi=1^n i = n(n+1)2
e
sumi=1^n i^2 = n(n+1)(2n+1)6

Passo 8

Substituindo essas somas na expressão:
Sn = 8n^3 cdot n(n+1)(2n+1)6 - 4n^2 cdot n(n+1)2

Passo 9

Simplificando os termos:
Sn = 8(n+1)(2n+1)6n^2 - 4(n+1)2n = 4(n+1)(2n+1)3n^2 - 2(n+1)n

Passo 10

Agora, calculamos o limite quando limn to infty Sn = limn to infty ( 83 - 2 ) = 23 tende ao infinito:

Resposta

O valor da integral é .

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