Calcule o limite, , quando existir. Caso contrário, justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite da função quando se aproxima de . Esse exercício é da matéria de Cálculo Multivariável, mais especificamente sobre limites em várias variáveis. Para resolver, vamos precisar analisar como a função se comporta quando nos aproximamos do ponto por diferentes caminhos e utilizar algumas técnicas de avaliação de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está acontecendo com a função conforme se aproxima de . A função é . Queremos ver se esse limite existe e, se existir, qual é o valor.

Passo 3

Uma maneira de abordar esse tipo de limite é verificar se o valor se mantém consistente independentemente do caminho que seguimos para chegar em . Se o limite for o mesmo por todos os caminhos, ele existe e é igual a esse valor. Se variar dependendo do caminho, o limite não existe.

Passo 4

Vamos tentar alguns caminhos simples:
  • Caminho 1: Mantendo e . Então, a função fica .
  • Caminho 2: Mantendo e . A função fica .
  • Caminho 3: Vamos considerar . Substituindo, temos . Quando , .
Até agora, todos os caminhos que testamos dão o limite igual a 0. Mas isso não garante que o limite existe. Precisamos de uma abordagem mais geral.

Passo 5

Vamos usar a desigualdade triangula para encontrar um limite superior da função. Primeiro, observamos que:
Agora, sabemos que , então:
Como , , então . Pela Teoria do Confronto (ou Teorema do Sandwich), se a nossa função está “presa” entre limites que vão para 0, então o limite da função também é 0.

Resposta

Portanto, o limite existe e é igual a 0.

Exercícios relacionados

(b) Use a definição de integral definida (com as extremidades direitas) para calcular o valor da integral
Calcule o limite, , quando existir. Caso contrário, justifique.
Determine: no instante .