Calcule o limite,
, quando existir. Caso contrário, justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite
da função
quando
se aproxima de
. Esse exercício é da matéria de Cálculo Multivariável, mais especificamente sobre limites em várias variáveis. Para resolver, vamos precisar analisar como a função se comporta quando nos aproximamos do ponto
por diferentes caminhos e utilizar algumas técnicas de avaliação de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que está acontecendo com a função conforme
se aproxima de
. A função é
. Queremos ver se esse limite existe e, se existir, qual é o valor.
Passo 3
Uma maneira de abordar esse tipo de limite é verificar se o valor se mantém consistente independentemente do caminho que seguimos para chegar em
. Se o limite for o mesmo por todos os caminhos, ele existe e é igual a esse valor. Se variar dependendo do caminho, o limite não existe.
Passo 4
Vamos tentar alguns caminhos simples:
-
Caminho 1: Mantendo
e . Então, a função fica . -
Caminho 2: Mantendo
e . A função fica . -
Caminho 3: Vamos considerar
. Substituindo, temos . Quando , .
Até agora, todos os caminhos que testamos dão o limite igual a 0. Mas isso não garante que o limite existe. Precisamos de uma abordagem mais geral.
Passo 5
Vamos usar a desigualdade triangula para encontrar um limite superior da função. Primeiro, observamos que:
Agora, sabemos que
, então:
Como
,
, então
. Pela Teoria do Confronto (ou Teorema do Sandwich), se a nossa função está “presa” entre limites que vão para 0, então o limite da função também é 0.
Resposta
Portanto, o limite
existe e é igual a 0.
Exercícios relacionados
(b) Use a definição de integral definida (com as extremidades direitas) para calcular o valor da integral
Calcule o limite,
, quando existir. Caso contrário, justifique.
Determine:
no instante
.