Em 10 observações de uma variável seguindo o modelo Normal com média 3 e desvio-padrão 2 , qual será a probabilidade de a média amostral
(a) Ser superior a 1,5 ?
(b) Ser inferior a zero?
© Não se afastar da verdadeira média por mais de 1 unidade?
R. (a)0,99134 (b)0 ©0,88816.
(a) Ser superior a 1,5 ?
(b) Ser inferior a zero?
© Não se afastar da verdadeira média por mais de 1 unidade?
R. (a)0,99134 (b)0 ©0,88816.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! Estamos lidando com estatística, especificamente com a distribuição normal e a média amostral. A questão nos apresenta 10 observações de uma variável que segue um modelo Normal com média 3 e desvio-padrão 2. Precisamos descobrir as probabilidades relacionadas à média dessas observações em três cenários diferentes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a média amostral. Quando coletamos várias observações (no caso, 10), a média dessas observações também segue uma distribuição normal se a variável original for normal. Essa distribuição da média tem a mesma média da população (que é 3) e um desvio-padrão menor, que chamamos de erro padrão da média.
Passo 3
Para calcular o erro padrão da média, usamos a fórmula:
Onde:
-
é o desvio-padrão da população (2). -
é o tamanho da amostra (10).
Vamos calcular isso:
Passo 4
Agora que temos o erro padrão, podemos padronizar a média amostral para encontrar a probabilidade desejada. Para isso, usamos a fórmula do escore z:
Onde:
-
é a média amostral. -
é a média da população (3).
Vamos resolver cada parte do exercício.
Passo 5
Parte (a): Qual a probabilidade de a média amostral ser superior a 1,5?
Aplicamos a fórmula do z:
Agora, queremos a probabilidade de $ \bar{x} > 1,5 $, que é a mesma que $ z > -2,3717 $. Usando a tabela da distribuição normal, a probabilidade correspondente a $ z > -2,3717 $ é aproximadamente 0,99134.
Passo 6
Parte (b): Qual a probabilidade de a média amostral ser inferior a zero?
Aplicamos a fórmula do z:
Agora, queremos a probabilidade de $ \bar{x} < 0 $, que é a mesma que $ z < -4,7434 $. Como esse valor de z é muito extremo na cauda esquerda da distribuição normal, a probabilidade é praticamente 0.
Passo 7
Parte ©: Qual a probabilidade de a média amostral não se afastar da verdadeira média por mais de 1 unidade?
Aqui, queremos que a média amostral esteja entre $ 3 - 1 = 2 $ e $ 3 + 1 = 4 $.
Calculamos os z para 2 e 4:
Para $ \bar{x} = 2 $:
Para $ \bar{x} = 4 $:
Agora, queremos a probabilidade de $ -1,5811 < z < 1,5811 $. Usando a tabela da distribuição normal, essa probabilidade é aproximadamente 0,88816.
Resposta
(a) 0,99134
(b) 0
© 0,88816
(b) 0
© 0,88816