Considere uma amostra de tamanho 30 de uma população Normal de média mu e variância sigma^2=16. Determine P(|barX-mu| <= 1).
R. 0,8294 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma amostra de tamanho 30 retirada de uma população que segue uma distribuição Normal, com média mu e variância sigma^2 = 16. Nosso objetivo é calcular a probabilidade de que a média da amostra barX esteja a no máximo 1 unidade de distância da média populacional mu, ou seja, P(|barX - mu| <= 1). Para resolver isso, vamos precisar entender sobre a distribuição da média amostral e usar propriedades da distribuição Normal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando a população é Normal, a média da amostra barX também segue uma distribuição Normal, independente do tamanho da amostra. A média da distribuição da média amostral é igual à média populacional mu, e a variância da média amostral é dada por sigma^2/n, onde n é o tamanho da amostra.

Passo 3

Vamos calcular o desvio padrão da média amostral, que é a raiz quadrada da variância da média amostral:
sigmabarX = raizsigma^2n = raiz1630 approx 0,7303

Passo 4

Agora, queremos encontrar P(|barX - mu| <= 1). Isso é equivalente a encontrar a probabilidade de barX estar entre mu - 1 e mu + 1. Como barX é Normal, podemos padronizar essa expressão usando o Z-score:
P(mu - 1 <= barX <= mu + 1) = P(-1sigmabarX <= Z <= 1sigmabarX)

Passo 5

Calculando os valores do Z-score:
Z = 10,7303 approx 1,3693
Então, queremos encontrar P(-1,3693 <= Z <= 1,3693).

Passo 6

Consultando uma tabela da distribuição Normal ou usando uma calculadora, encontramos que a probabilidade de Z estar entre -1,3693 e 1,3693 é aproximadamente 0,8294.

Resposta

0,8294

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