O peso de determinada raça de aves segue uma distribuição normal cuja média é
e cuja variância é
. Tomasse uma amostra aleatória simples de 10 aves dessa raça
(a) Qual é a variância da média amostral?
(b) Qual é a probabilidade de a média amostral do peso ficar entre 2,5 kg e
?
R. (a) 0,025; (b) 0,397.
(a) Qual é a variância da média amostral?
(b) Qual é a probabilidade de a média amostral do peso ficar entre 2,5 kg e
R. (a) 0,025; (b) 0,397.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta fala sobre o peso de uma raça de aves que segue uma distribuição normal, com média de
e variância de
. A gente tirou uma amostra aleatória de 10 aves dessa raça. Vamos precisar usar conceitos de estatística sobre distribuição normal, média amostral e variância da média. Bora lá!
Passo 2
Parte (a): Qual é a variância da média amostral?
Primeiro, vamos entender o que é média amostral. Quando tiramos uma amostra de, digamos, 10 aves, calculamos a média dos pesos dessas 10 aves. A variância da média amostral nos diz o quanto essa média pode variar de uma amostra para outra.
A fórmula para a variância da média amostral ($ \sigma_{\bar{x}}^2 $) é:
Onde:
- $ \sigma^2 $ é a variância da população (nós temos
) - $ n $ é o tamanho da amostra (nós temos
)
Vamos calcular:
Passo 3
Parte (b): Qual é a probabilidade de a média amostral do peso ficar entre 2,5 kg e 2,7 kg?
Aqui queremos saber a probabilidade de que a média dos pesos das 10 aves esteja entre 2,5 kg e 2,7 kg. Como a distribuição do peso é normal, a distribuição da média amostral também será normal, com média $ \mu_{\bar{x}} = \mu = 2,5 , kg $ e variância $ \sigma_{\bar{x}}^2 = 0,025 , kg^2 $.
Primeiro, encontramos o desvio padrão da média amostral ($ \sigma_{\bar{x}} $):
Agora, vamos padronizar os valores de 2,5 kg e 2,7 kg usando a fórmula do escore-z:
Para $ x = 2,5 , kg $:
Para $ x = 2,7 , kg $:
Agora, consultamos a tabela da distribuição normal padrão para encontrar as probabilidades correspondentes a esses valores de z.
- $ P(Z < 1,2649) \approx 0,897 $
- $ P(Z < 0) = 0,5 $
A probabilidade de estar entre 0 e 1,2649 é:
Resposta
(a) A variância da média amostral é
.
(b) A probabilidade de a média amostral do peso ficar entre 2,5 kg e 2,7 kg é aproximadamente
.