O peso de determinada raça de aves segue uma distribuição normal cuja média é 2,5 kg e cuja variância é (0,5 kg)^2. Tomasse uma amostra aleatória simples de 10 aves dessa raça
(a) Qual é a variância da média amostral?
(b) Qual é a probabilidade de a média amostral do peso ficar entre 2,5 kg e 2,7 kg ?
R. (a) 0,025; (b) 0,397.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta fala sobre o peso de uma raça de aves que segue uma distribuição normal, com média de 2,5 , kg e variância de (0,5 , kg)^2. A gente tirou uma amostra aleatória de 10 aves dessa raça. Vamos precisar usar conceitos de estatística sobre distribuição normal, média amostral e variância da média. Bora lá!

Passo 2

Parte (a): Qual é a variância da média amostral?
Primeiro, vamos entender o que é média amostral. Quando tiramos uma amostra de, digamos, 10 aves, calculamos a média dos pesos dessas 10 aves. A variância da média amostral nos diz o quanto essa média pode variar de uma amostra para outra.
A fórmula para a variância da média amostral ($ \sigma_{\bar{x}}^2 $) é:
sigmabarx^2
Onde:
  • $ \sigma^2 $ é a variância da população (nós temos sigmabarx^2 = sigma^2n )
  • $ n $ é o tamanho da amostra (nós temos sigma^2 )
Vamos calcular:
0,5^2 = 0,25 , kg^2

Passo 3

Parte (b): Qual é a probabilidade de a média amostral do peso ficar entre 2,5 kg e 2,7 kg?
Aqui queremos saber a probabilidade de que a média dos pesos das 10 aves esteja entre 2,5 kg e 2,7 kg. Como a distribuição do peso é normal, a distribuição da média amostral também será normal, com média $ \mu_{\bar{x}} = \mu = 2,5 , kg $ e variância $ \sigma_{\bar{x}}^2 = 0,025 , kg^2 $.
Primeiro, encontramos o desvio padrão da média amostral ($ \sigma_{\bar{x}} $):
mubarx = mu = 2,5 , kg
Agora, vamos padronizar os valores de 2,5 kg e 2,7 kg usando a fórmula do escore-z:
sigmabarx^2 = 0,025 , kg^2
Para $ x = 2,5 , kg $:
sigmabarx
Para $ x = 2,7 , kg $:
sigmabarx = raiz0,025 = 0,1581 , kg
Agora, consultamos a tabela da distribuição normal padrão para encontrar as probabilidades correspondentes a esses valores de z.
  • $ P(Z < 1,2649) \approx 0,897 $
  • $ P(Z < 0) = 0,5 $
A probabilidade de estar entre 0 e 1,2649 é:
z = x - mubarxsigmabarx

Resposta

(a) A variância da média amostral é 0,025 , kg^2.
(b) A probabilidade de a média amostral do peso ficar entre 2,5 kg e 2,7 kg é aproximadamente 0,397.

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