Suponha que as variáveis aleatórias
representam o tempo de vida de 50 tubos electrónicos
e se usam da seguinte maneira: Quando o tubo
começa a falhar, o tubo
começa a funcionar e quando falha o
começa a funcionar o
, etc. Suponha que as variáveis
sejam identicamente distribuídas com o modelo exponencial com mdia igual a 500 horas. Qual é a probabilidade que o tempo de funcionamento dos 50 tubos esteja entre 26000 e 28000 horas?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre o tempo de vida de 50 tubos eletrônicos que funcionam um de cada vez. Cada tubo tem seu tempo de vida representado por uma variável aleatória $ X_i $ com distribuição exponencial e média de 500 horas. Queremos saber a probabilidade de que o tempo total de funcionamento dos 50 tubos esteja entre 26.000 e 28.000 horas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição exponencial, soma de variáveis aleatórias e a distribuição normal através do Teorema Central do Limite.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a distribuição exponencial. Cada $ X_i $ representa o tempo de vida de um tubo e tem média $ \mu = 500 $ horas. A distribuição exponencial é usada para modelar o tempo entre eventos em um processo de Poisson, como a falha de um tubo.
Passo 3
Como temos 50 tubos, o tempo total de funcionamento $ S $ é a soma de todas as $ X_i $:
Quando somamos variáveis exponenciais iguais, a distribuição resultante é uma distribuição Gamma. No entanto, com um número grande de tubos, podemos simplificar usando o Teorema Central do Limite.
Passo 4
O Teorema Central do Limite nos diz que, para um grande número de variáveis aleatórias independentes, a soma dessas variáveis tende a seguir uma distribuição normal, mesmo que as variáveis individuais não sejam normais. Então, podemos aproximar $ S $ por uma distribuição normal com média e desvio padrão determinados.
Passo 5
Calculamos a média $ \mu_S $ e a variância $ \sigma_S^2 $ da soma $ S $:
O desvio padrão $ \sigma_S $ é a raiz quadrada da variância:
Passo 6
Agora, queremos a probabilidade de $ S $ estar entre 26.000 e 28.000 horas. Vamos padronizar esses valores usando a fórmula do z-score:
Para 26.000 horas:
Para 28.000 horas:
Passo 7
Usando a tabela da distribuição normal padrão, encontramos as probabilidades correspondentes aos z-scores:
A probabilidade de $ S $ estar entre 26.000 e 28.000 horas é a diferença entre essas duas probabilidades:
Resposta
A probabilidade de que o tempo de funcionamento dos 50 tubos esteja entre 26.000 e 28.000 horas é aproximadamente 0,192.