Sejam uma amostra aleatória simples, extraída de uma população cuja função de densidade de probabilidade é:
Encontre c tal que P(barX <= c)=0,975.
R mu=2,9404, sigma^2=10,5597, c=3,9475
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma amostra de 40 elementos tirada de uma população com uma função de densidade de probabilidade específica. Nosso objetivo é encontrar o valor $ c $ tal que a probabilidade da média amostral $ \overline{X} $ ser menor ou igual a $ c $ seja de 97,5%. Para isso, vamos precisar entender conceitos de estatística como média, variância, distribuição amostral da média e usar a distribuição normal para encontrar esse valor.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a média populacional ($ \mu $). A média é o valor esperado da variável aleatória, que a gente calcula integrando $ x $ vezes a função de densidade $ f(x) $ sobre todo o espaço possível. No nosso caso:
mu
Esse cálculo pode ser feito utilizando técnicas de integração, e o resultado é $ \mu = 2,9404 $.
Passo 3
Agora, vamos calcular a variância populacional ($ \sigma^{2} $). A variância mede o quanto os valores se dispersam em relação à média. A fórmula é:
sigma^2
Após resolver essa integral, obtemos $ \sigma^{2} = 10,5597 $.
Passo 4
Com a média e a variância da população, podemos determinar a variância da média amostral ($ \sigma_{\overline{X}}^{2} $). Sabemos que:
sigmaX^2
Onde $ n = 40 $ é o tamanho da amostra. Assim:
sigmaX^2 = sigma^2n
A raiz quadrada disso nos dá o desvio padrão da média amostral:
n = 40
Passo 5
Agora, queremos encontrar o valor $ c $ tal que $ P(\overline{X} \leq c) = 0,975 $. Isso significa que $ c $ é o percentil de 97,5% da distribuição da média amostral. Assumindo que a distribuição da média amostral é aproximadamente normal (pela Lei dos Grandes Números), podemos usar a tabela Z para encontrar o valor correspondente.
O valor Z que corresponde a 97,5% é aproximadamente 1,96.
Passo 6
Finalmente, usamos a fórmula da distribuição normal para encontrar $ c $: