(10 pontos) Determine o intervalo de convergência da série sumn=0^infty n^n(x-4)^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o intervalo de convergência da série . Isso envolve o estudo de séries de potências, um tópico de análise matemática que nos ajuda a entender para quais valores de a série converge, ou seja, dá um resultado finito.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar qual teste de convergência vamos usar. Para séries com termos que envolvem de forma complicada, como , o Teste da Raiz é uma boa escolha. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência observando o limite da raiz -ésima do termo geral da série.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Raiz. A ideia é calcular:
L = limn to infty raiz[n]|n^n(x-4)^n|
Simplificando, temos:
L = limn to infty n cdot |x - 4|

Passo 4

Agora, analisamos o limite n cdot |x - 4| < 1 :
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso:
Mas conforme cresce, tende para infinito a menos que .

Passo 5

Isso significa que a única possibilidade para a série convergir é quando , ou seja, . Para qualquer outro valor de , o limite será maior que 1, indicando divergência.

Resposta

O intervalo de convergência da série é apenas .

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