(10 pontos) Determine o intervalo de convergência da série
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o intervalo de convergência da série
. Isso envolve o estudo de séries de potências, um tópico de análise matemática que nos ajuda a entender para quais valores de
a série converge, ou seja, dá um resultado finito.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar qual teste de convergência vamos usar. Para séries com termos que envolvem
de forma complicada, como
, o Teste da Raiz é uma boa escolha. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência observando o limite da raiz
-ésima do termo geral da série.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Raiz. A ideia é calcular:
Simplificando, temos:
Passo 4
Agora, analisamos o limite
:
- Se
, a série converge. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
No nosso caso:
Mas conforme
cresce,
tende para infinito a menos que
.
Passo 5
Isso significa que a única possibilidade para a série convergir é quando
, ou seja,
. Para qualquer outro valor de
, o limite
será maior que 1, indicando divergência.
Resposta
O intervalo de convergência da série é apenas
.
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, então o raio de convergência da série
é 4 .
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