(10 pontos) Use integração termo a termo na parte (a) para encontrar uma série de potências para
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente precisa encontrar uma série de potências para a função
usando integração termo a termo. Isso significa que vamos expandir a função em uma série e integrar cada termo dessa série individualmente. Para isso, vamos precisar conhecer a série geométrica e como integrar séries de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da série geométrica básica. A série geométrica para
é dada por:
Essa é uma ferramenta poderosa porque nos permite expressar funções racionais como séries infinito.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a série geométrica à função que temos no exercício. Queremos expandir
, então basta substituir
por
:
Isso significa que nossa série converge quando
.
Passo 4
Vamos agora integrar ambos os lados dessa igualdade em relação a
. A ideia é integrar termo a termo a série para obter a série de potências para
:
Passo 5
Aí vem a integração termo a termo. Podemos trocar a ordem da integração e da soma (desde que a série converja) e integrar cada termo separadamente:
Integrando cada termo, temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, vamos lembrar que a integral de
é uma função logarítmica:
Passo 7
Igualando as duas expressões que obtivemos para a integral, temos:
Podemos simplificar removendo
de ambos os lados:
Passo 8
Finalmente, queremos isolar
. Multiplicando ambos os lados por
, conseguimos:
Podemos reindexar a soma para começar em
:
Resposta
A série de potências para
é:
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Calcule
, onde:
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real.