(10 pontos) Use integração termo a termo na parte (a) para encontrar uma série de potências para
ln(1 - 9 x)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente precisa encontrar uma série de potências para a função usando integração termo a termo. Isso significa que vamos expandir a função em uma série e integrar cada termo dessa série individualmente. Para isso, vamos precisar conhecer a série geométrica e como integrar séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da série geométrica básica. A série geométrica para é dada por:
Essa é uma ferramenta poderosa porque nos permite expressar funções racionais como séries infinito.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a série geométrica à função que temos no exercício. Queremos expandir , então basta substituir por :
Isso significa que nossa série converge quando .

Passo 4

Vamos agora integrar ambos os lados dessa igualdade em relação a . A ideia é integrar termo a termo a série para obter a série de potências para :

Passo 5

Aí vem a integração termo a termo. Podemos trocar a ordem da integração e da soma (desde que a série converja) e integrar cada termo separadamente:
Integrando cada termo, temos:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, vamos lembrar que a integral de é uma função logarítmica:

Passo 7

Igualando as duas expressões que obtivemos para a integral, temos:
Podemos simplificar removendo de ambos os lados:

Passo 8

Finalmente, queremos isolar . Multiplicando ambos os lados por , conseguimos:
Podemos reindexar a soma para começar em :

Resposta

A série de potências para é:

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