(10 pontos) Encontre uma série de potências para
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar uma série de potências para a função
. Esse tipo de problema faz parte da matéria de Cálculo, mais especificamente no estudo de séries de potências e séries geométricas. Para resolver, vamos precisar entender como transformar a expressão dada em uma série geométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da série geométrica. A série geométrica é dada por:
Essa série vale quando o valor absoluto de
é menor que 1, ou seja,
.
Passo 3
Observando a função que queremos expandir,
, podemos compará-la com a fórmula da série geométrica. Aqui, percebemos que
. Portanto, podemos substituir
por
na fórmula da série geométrica.
Passo 4
Substituindo
na série geométrica, temos:
Simplificando, a série fica:
Resposta
A série de potências para
é:
Essa série converge para
.
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, então o raio de convergência da série
é 4 .
(10 pontos) Use integração termo a termo na parte (a) para encontrar uma série de potências para
Calcule
, onde: