(10 pontos) O plano pi: x+y-z-1=0 intercepta os eixos cartesianos nos pontos A, B e C. Calcule a área do triângulo A B C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Geometria Analítica! A questão nos dá o plano pi: x + y - z - 1 = 0, e nos pede para encontrar os pontos onde esse plano intercepta os eixos cartesianos, que são os pontos A, B e C. Depois, com esses pontos, vamos calcular a área do triângulo ABC. Para isso, vamos precisar usar conceitos de interseção de planos com eixos e fórmulas de área de triângulos no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção do plano com os eixos.
  • Interseção com o eixo x: Nesse caso, y = 0 e z = 0.
    Substituindo na equação do plano:
    x + 0 - 0 - 1 = 0 implies x = 1
    Então, o ponto A é (1, 0, 0).
  • Interseção com o eixo y: Aqui, x = 0 e z = 0.
    Substituindo:
    0 + y - 0 - 1 = 0 implies y = 1
    Portanto, o ponto B é (0, 1, 0).
  • Interseção com o eixo z: Agora, x = 0 e y = 0.
    Substituindo:
    0 + 0 - z - 1 = 0 implies z = -1
    O ponto C é (0, 0, -1).

Passo 3

Agora que temos os três pontos A(1, 0, 0), B(0, 1, 0) e C(0, 0, -1), vamos calcular a área do triângulo ABC. Para isso, podemos usar a fórmula da área de um triângulo no espaço usando vetores.
Primeiro, vamos formar dois vetores a partir desses pontos:
  • Vetor AB = B - A = (-1, 1, 0)
  • Vetor AC = C - A = (-1, 0, -1)

Passo 4

A fórmula para a área S de um triângulo formado por dois vetores u e v é:
S = 12 | u times v |
onde times representa o produto vetorial e | cdot | é a norma do vetor resultante.
Vamos calcular o produto vetorial AB times AC.

Passo 5

Calculando o produto vetorial:
AB times AC = i & j & k -1 & 1 & 0 -1 & 0 & -1 = i(1 cdot (-1) - 0 cdot 0) - j((-1) cdot (-1) - 0 cdot (-1)) + k((-1) cdot 0 - 1 cdot (-1))
= i(-1) - j(1) + k(1)
= (-1, -1, 1)

Passo 6

Agora, vamos calcular a norma desse vetor:
| AB times AC | = raiz(-1)^2 + (-1)^2 + 1^2 = raiz1 + 1 + 1 = raiz3

Passo 7

Finalmente, aplicando na fórmula da área:
S = 12 times raiz3 = raiz32

Resposta

A área do triângulo ABC é dfracraiz32 unidades de área.

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