(10 pontos) O plano intercepta os eixos cartesianos nos pontos e . Calcule a área do triângulo .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Geometria Analítica! A questão nos dá o plano , e nos pede para encontrar os pontos onde esse plano intercepta os eixos cartesianos, que são os pontos , e . Depois, com esses pontos, vamos calcular a área do triângulo . Para isso, vamos precisar usar conceitos de interseção de planos com eixos e fórmulas de área de triângulos no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção do plano com os eixos.
Interseção com o eixo x: Nesse caso, e .
Substituindo na equação do plano:
Então, o ponto é .
Interseção com o eixo y: Aqui, e .
Substituindo:
Portanto, o ponto é .
Interseção com o eixo z: Agora, e .
Substituindo:
O ponto é .
Passo 3
Agora que temos os três pontos , e , vamos calcular a área do triângulo . Para isso, podemos usar a fórmula da área de um triângulo no espaço usando vetores.
Primeiro, vamos formar dois vetores a partir desses pontos:
Vetor
Vetor
Passo 4
A fórmula para a área de um triângulo formado por dois vetores e é:
onde representa o produto vetorial e é a norma do vetor resultante.
Vamos calcular o produto vetorial .
Passo 5
Calculando o produto vetorial:
= i(-1) - j(1) + k(1)
= (-1, -1, 1)
Passo 6
Agora, vamos calcular a norma desse vetor:
| AB times AC | = raiz(-1)^2 + (-1)^2 + 1^2 = raiz1 + 1 + 1 = raiz3
Passo 7
Finalmente, aplicando na fórmula da área:
S = 12 times raiz3 = raiz32
Resposta
A área do triângulo ABC é dfracraiz32 unidades de área.