(5 pontos) Determine m e n para que a reta r:cx=1+t y=1+t z=-1+t, t in R esteja contida no plano alpha: m x-3 y+n z-1=0.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo: precisamos encontrar os valores de e para que a reta esteja totalmente contida no plano . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, verificando se todos os pontos da reta satisfazem a equação do plano e se a direção da reta está alinhada com o plano.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir as equações paramétricas da reta x = 1 + t, y = 1 + t, z = -1 + t, t in R na equação do plano m x - 3 y + n z - 1 = 0 . A reta é dada por:
m(1 + t) - 3(1 + t) + n(-1 + t) - 1 = 0
E o plano é definido por:
Substituindo , e na equação do plano:

Passo 3

Vamos expandir e simplificar a equação:
m + mt - 3 - 3t - n + nt - 1 = 0
Agrupando os termos semelhantes:
(m - 3 + n)t + (m - 3 - n - 1) = 0
Ou seja:
(m + n - 3)t + (m - n - 4) = 0

Passo 4

Para que a equação seja verdadeira para todos os valores de m + n - 3 = 0 m - n - 4 = 0 , os coeficientes de e o termo constante devem ser iguais a zero. Assim, temos o seguinte sistema de equações:

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações:
  1. Da primeira equação:
m + n = 3 (1)
  1. Da segunda equação:
m - n = 4 (2)
Somando as equações (1) e (2):
2m = 7 implies m = 72 = 3,5
Substituindo o valor de 3,5 + n = 3 implies n = 3 - 3,5 = -0,5 na equação (1):

Resposta

Os valores são e .

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