Seja g: R R dada por
g(x)= x^3-2, & se x <= 0 raizx+1, & se 02
Encontre:
g^-1([-1,16])

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função que é definida de três jeitos diferentes dependendo do valor de . Nosso objetivo é encontrar todos os valores de que fazem estar entre e . Para isso, vamos precisar entender como cada parte da função se comporta e resolver as desigualdades que surgirem.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte da função quando g(x) = x^3 - 2 :
-1 <= x^3 - 2 <= 16
Queremos que 1 <= x^3 <= 18 esteja entre raiz[3]1 <= x <= raiz[3]18 e :
Vamos resolver isso em duas etapas. Primeiro, somamos 2 em todas as partes da desigualdade:
Agora, vamos tirar a raiz cúbica para encontrar :
Sabemos que e é aproximadamente . Mas lembre-se que essa parte da função só vale para . Então, não há valores de nessa faixa que satisfaçam a desigualdade. Ou seja, não há soluções aqui.

Passo 3

Agora vamos para a segunda parte, onde g(x) = raizx + 1 :
-1 <= raizx + 1 <= 16
Queremos:
raizx + 1 <= 16
Primeiro, sabemos que a raiz quadrada só dá valores positivos ou zero, então a parte x + 1 <= 256 é sempre verdadeira. Vamos focar na segunda parte:
x <= 255
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
0 < x <= 2
Subtraindo 1:
Mas lembrando que está entre e , então os valores de que satisfazem são:

Passo 4

Por fim, vamos para a terceira parte, onde g(x) = 1x - 2 :
-1 <= 1x - 2 <= 16
Queremos:
1x - 2 + 1 >= 0 Rightarrow x - 1x - 2 >= 0
Vamos resolver essa desigualdade. Primeiro, vamos considerar os dois lados separadamente.
  1. 1x - 2 <= 16 Rightarrow 1 <= 16(x - 2) Rightarrow 1 <= 16x - 32 Rightarrow 33 <= 16x Rightarrow x >= 3316 approx 2.0625 :
x >= 2.0625
Analisando, obtemos ou . Mas como estamos na faixa , a condição é sempre verdadeira.
  1. :
Como , combinando com , temos:

Resposta

Unindo todas as partes, os valores de 0 < x <= 2 e x >= 2.0625 que satisfazem g^-1([-1,16]) = (0, 2] cup [2.0625, infty) são:
Ou seja,

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