Beleza, vamos lá! A questão fala sobre probabilidade envolvendo um grupo de crianças em um infantário. Temos 100 crianças, das quais 15 são bebês com menos de 1 ano. Queremos selecionar 10 crianças aleatoriamente para assistir às gravações do Batatoon. Vamos resolver três partes:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade combinatória e distribuição binomial.
Passo 2
Parte (a): Probabilidade de nenhum bebê participar
Primeiro, queremos saber a probabilidade de, ao selecionar 10 crianças, nenhuma delas seja um bebê com menos de 1 ano.
Para isso, usamos a combinação, que nos ajuda a contar de quantas maneiras podemos escolher 10 crianças sem escolher nenhum dos 15 bebês.
A fórmula da combinação é:
Aqui, o número total de maneiras de escolher 10 crianças entre 100 é . E o número de maneiras de escolher 10 crianças que não sejam bebês é (já que 100 - 15 = 85 crianças não são bebês).
Então, a probabilidade é:
Passo 3
Parte (b): Valor esperado e variância da variável aleatória
Aqui, queremos encontrar o valor esperado (média) e a variância do número de bebês no grupo de 10 crianças selecionadas.
Vamos considerar que cada criança tem uma probabilidade de ser bebê de .
A variável aleatória segue uma distribuição binomial, onde:
A mediana é o valor que separa a metade inferior da metade superior dos dados. Para uma distribuição discreta como a binomial, a mediana é o menor número tal que a soma das probabilidades de seja pelo menos 0.5.
Usando a distribuição binomial com e , calculamos as probabilidades acumuladas até certo ponto até que a soma alcance ou ultrapasse 0.5.
Após calcular, encontramos que a mediana é 1 bebê.
Resposta
(a) A probabilidade de não haver nenhum bebê no grupo é .