Das 100 crianças que frequentam o infantário Os Traquinas 15 são bebés com menos de 1 ano de idade. São selecionadas, ao acaso, 10 crianças para irem assistir às gravações do Batatoon.
(a) Qual a probabilidade de nesse grupo não irem bebés com menos de 1 ano?
(b) Qual o valor esperado e a variância da variável aleatória em estudo?
© Encontre a mediana do número de bebes assistindo as gravações.
(a) Qual a probabilidade de nesse grupo não irem bebés com menos de 1 ano?
(b) Qual o valor esperado e a variância da variável aleatória em estudo?
© Encontre a mediana do número de bebes assistindo as gravações.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre probabilidade envolvendo um grupo de crianças em um infantário. Temos 100 crianças, das quais 15 são bebês com menos de 1 ano. Queremos selecionar 10 crianças aleatoriamente para assistir às gravações do Batatoon. Vamos resolver três partes:
(a) A chance de nenhum bebê participar.
(b) O valor esperado e a variância da quantidade de bebês no grupo.
© A mediana do número de bebês assistindo às gravações.
(b) O valor esperado e a variância da quantidade de bebês no grupo.
© A mediana do número de bebês assistindo às gravações.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade combinatória e distribuição binomial.
Passo 2
Parte (a): Probabilidade de nenhum bebê participar
Primeiro, queremos saber a probabilidade de, ao selecionar 10 crianças, nenhuma delas seja um bebê com menos de 1 ano.
Para isso, usamos a combinação, que nos ajuda a contar de quantas maneiras podemos escolher 10 crianças sem escolher nenhum dos 15 bebês.
A fórmula da combinação é:
Aqui, o número total de maneiras de escolher 10 crianças entre 100 é
. E o número de maneiras de escolher 10 crianças que não sejam bebês é
(já que 100 - 15 = 85 crianças não são bebês).
Então, a probabilidade é:
Passo 3
Parte (b): Valor esperado e variância da variável aleatória
Aqui, queremos encontrar o valor esperado (média) e a variância do número de bebês no grupo de 10 crianças selecionadas.
Vamos considerar que cada criança tem uma probabilidade de ser bebê de
.
A variável aleatória segue uma distribuição binomial, onde:
onde
e
.
Então:
Passo 4
Parte ©: Mediana do número de bebês assistindo às gravações
A mediana é o valor que separa a metade inferior da metade superior dos dados. Para uma distribuição discreta como a binomial, a mediana é o menor número
tal que a soma das probabilidades de
seja pelo menos 0.5.
Usando a distribuição binomial com
e
, calculamos as probabilidades acumuladas até certo ponto até que a soma alcance ou ultrapasse 0.5.
Após calcular, encontramos que a mediana é 1 bebê.
Resposta
(a) A probabilidade de não haver nenhum bebê no grupo é
.
(b) O valor esperado é 1,5 e a variância é 1,275.
© A mediana do número de bebês assistindo às gravações é 1.