Vamos resumir o problema: estamos estudando a criação de um espaço verde em uma cidade de média dimensão. Descobrimos que 80% dos cidadãos concordam com essa medida. Agora, foram entrevistados 10 cidadãos para verificar quantos realmente concordam.
O conteúdo que vamos utilizar aqui é Probabilidade, especificamente a distribuição binomial, que é adequada para situações onde temos apenas dois resultados possíveis (como concordar ou não) em várias tentativas independentes.
Precisaremos definir a função de probabilidade para o número de cidadãos que concordam e, em seguida, calcular algumas probabilidades específicas, além do valor esperado, variância e um quantil dessa distribuição.
Passo 2
(a) Definindo a função de probabilidade da variável aleatória
A variável aleatória representa o número de cidadãos que concordam com a criação do espaço verde em 10 inquiridos. Como cada cidadão tem duas opções (concordar ou não) e as respostas são independentes, segue uma distribuição binomial.
A função de probabilidade da distribuição binomial é dada por:
onde:
é o número de ensaios (cidadãos entrevistados),
é a probabilidade de sucesso (concordar),
é o número de sucessos desejados (cidadãos que concordam), podendo variar de 0 a 10.
Portanto, a função de probabilidade para é:
Passo 3
(b) Calculando as probabilidades específicas
i) Probabilidade de nenhum concordar ()
Usamos a função de probabilidade binomial:
Calculando:
Portanto,
Passo 4
ii) Probabilidade de pelo menos 2 concordarem ()
Primeiro, calculamos a probabilidade complementar de ter menos de 2 concordâncias, ou seja, .
Já sabemos que .
Agora, calculamos :
Calculando:
Agora, somamos e :
Portanto,
Passo 5
iii) Probabilidade de entre 7 a 9 concordarem ()
Vamos calcular .
Calculando :
Calculando :
Calculando :
Somando todas as probabilidades:
Portanto, a probabilidade é aproximadamente 77,1752%.