No âmbito de um estudo sobre a criação de um amplo espaço verde numa cidade de média dimensão, constatou-se que 80 % dos cidadãos concordavam com a medida. Foram inquiridos 10 cidadãos.
(a) Defina a função de probabilidade da variável aleatória X que representa o número de cidadãos que concordam com a criação do espaço verde, em n inquiridos.
(b) Calcule a probabilidade de:
i) Nenhum concordar.
ii Pelo menos 2 concordarem.
iii Entre 7 a 9 concordarem.
© Calcule o valor esperado e a variância do número de cidadãos que concordam com a criação do espaço verde.
(d) Encontre o quantil 0,2 do número de cidadãos.

Passo 1

Vamos resumir o problema: estamos estudando a criação de um espaço verde em uma cidade de média dimensão. Descobrimos que 80% dos cidadãos concordam com essa medida. Agora, foram entrevistados 10 cidadãos para verificar quantos realmente concordam.
O conteúdo que vamos utilizar aqui é Probabilidade, especificamente a distribuição binomial, que é adequada para situações onde temos apenas dois resultados possíveis (como concordar ou não) em várias tentativas independentes.
Precisaremos definir a função de probabilidade para o número de cidadãos que concordam e, em seguida, calcular algumas probabilidades específicas, além do valor esperado, variância e um quantil dessa distribuição.

Passo 2

(a) Definindo a função de probabilidade da variável aleatória P(X = k) = binomnk p^k (1 - p)^n - k

A variável aleatória P(X = k) = binom10k (0,80)^k (0,20)^10 - k representa o número de cidadãos que concordam com a criação do espaço verde em 10 inquiridos. Como cada cidadão tem duas opções (concordar ou não) e as respostas são independentes, segue uma distribuição binomial.
A função de probabilidade da distribuição binomial é dada por:
onde:
  • é o número de ensaios (cidadãos entrevistados),
  • é a probabilidade de sucesso (concordar),
  • é o número de sucessos desejados (cidadãos que concordam), podendo variar de 0 a 10.
Portanto, a função de probabilidade para é:

Passo 3

(b) Calculando as probabilidades específicas

i) Probabilidade de nenhum concordar ( P(X = 0) = binom100 (0,80)^0 (0,20)^10 = 1 times 1 times (0,20)^10 )

Usamos a função de probabilidade binomial:
(0,20)^10 = 0,0000001024
Calculando:
P(X = 0) = 0,0000001024 approx 0,00001 ou 0,001%
Portanto,

Passo 4

ii) Probabilidade de pelo menos 2 concordarem ( P(X = 1) = binom101 (0,80)^1 (0,20)^9 = 10 times 0,80 times (0,20)^9 )

Primeiro, calculamos a probabilidade complementar de ter menos de 2 concordâncias, ou seja, (0,20)^9 = 0,000000512 .
Já sabemos que P(X = 1) = 10 times 0,80 times 0,000000512 = 0,000004096 .
Agora, calculamos P(X < 2) = 0,0000001024 + 0,000004096 = 0,0000041984 :
P(X >= 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - 0,0000041984 approx 0,9999958 ou 99,99958%
Calculando:
Agora, somamos e :
Portanto,

Passo 5

iii) Probabilidade de entre 7 a 9 concordarem ( P(X = 7) = binom107 (0,80)^7 (0,20)^3 = 120 times 0,2097152 times 0,008 = 120 times 0,0016777216 = 0,201326592 )

Vamos calcular P(X = 8) = binom108 (0,80)^8 (0,20)^2 = 45 times 0,16777216 times 0,04 = 45 times 0,0067108864 = 0,3019908848 .
Calculando P(X = 9) = binom109 (0,80)^9 (0,20)^1 = 10 times 0,134217728 times 0,20 = 10 times 0,0268435456 = 0,268435456 :
P(7 <= X <= 9) = 0,201326592 + 0,3019908848 + 0,268435456 = 0,771752
Calculando :
Calculando :
Somando todas as probabilidades:
Portanto, a probabilidade é aproximadamente 77,1752%.

Passo 6

© Calculando o valor esperado e a variância

Valor Esperado ( E(X) = n cdot p ):
A fórmula para o valor esperado de uma distribuição binomial é:
E(X) = 10 times 0,80 = 8
Substituindo os valores:
Var(X) = n cdot p cdot (1 - p)
Variância ( Var(X) = 10 times 0,80 times 0,20 = 1,6 ):
A fórmula para a variância é:
Substituindo:
Portanto:
  • Valor Esperado: 8 cidadãos
  • Variância: 1,6

Passo 7

(d) Encontrando o quantil 0,2 do número de cidadãos

O quantil 0,2, também conhecido como o 20º percentil, é o menor valor de P(X <= 6) = sumi=0^6 P(X = i) tal que a probabilidade acumulada até P(X <= 7) = P(X = 0) + P(X = 1) + dots + P(X = 7) seja pelo menos 0,2.
Vamos calcular a distribuição acumulada até encontrarmos esse valor.
Calculando para diferentes valores de :
  1. Para :
Calculando cada e somando até , supondo que essa soma seja menor que 0,2.
  1. Para :
Com base nos cálculos anteriores, sabemos que . Somando as probabilidades até , provavelmente atingiremos ou ultrapassaremos 0,2.
Portanto, o quantil 0,2 é 7 cidadãos.

Resposta

(a) A função de probabilidade da variável aleatória P(X = k) = binom10k (0,80)^k (0,20)^10 - k para k = 0, 1, 2, dots, 10 é:
(b)
  • i)
  • ii)
  • iii)
©
  • Valor Esperado: cidadãos
  • Variância:
(d) O quantil 0,2 do número de cidadãos é 7.

Exercícios relacionados