No âmbito de um estudo sobre a criação de um amplo espaço verde numa cidade de média dimensão, constatou-se que dos cidadãos concordavam com a medida. Foram inquiridos 10 cidadãos.
(a) Defina a função de probabilidade da variável aleatória que representa o número de cidadãos que concordam com a criação do espaço verde, em inquiridos.
(b) Calcule a probabilidade de:
i) Nenhum concordar.
ii Pelo menos 2 concordarem.
iii Entre 7 a 9 concordarem.
© Calcule o valor esperado e a variância do número de cidadãos que concordam com a criação do espaço verde.
(d) Encontre o quantil 0,2 do número de cidadãos.

Passo 1

Vamos resumir o problema: estamos estudando a criação de um espaço verde em uma cidade de média dimensão. Descobrimos que 80% dos cidadãos concordam com essa medida. Agora, foram entrevistados 10 cidadãos para verificar quantos realmente concordam.
O conteúdo que vamos utilizar aqui é Probabilidade, especificamente a distribuição binomial, que é adequada para situações onde temos apenas dois resultados possíveis (como concordar ou não) em várias tentativas independentes.
Precisaremos definir a função de probabilidade para o número de cidadãos que concordam e, em seguida, calcular algumas probabilidades específicas, além do valor esperado, variância e um quantil dessa distribuição.

Passo 2

(a) Definindo a função de probabilidade da variável aleatória

A variável aleatória representa o número de cidadãos que concordam com a criação do espaço verde em 10 inquiridos. Como cada cidadão tem duas opções (concordar ou não) e as respostas são independentes, segue uma distribuição binomial.
A função de probabilidade da distribuição binomial é dada por:
onde:
  • é o número de ensaios (cidadãos entrevistados),
  • é a probabilidade de sucesso (concordar),
  • é o número de sucessos desejados (cidadãos que concordam), podendo variar de 0 a 10.
Portanto, a função de probabilidade para é:

Passo 3

(b) Calculando as probabilidades específicas

i) Probabilidade de nenhum concordar ( )

Usamos a função de probabilidade binomial:
Calculando:
Portanto,

Passo 4

ii) Probabilidade de pelo menos 2 concordarem ( )

Primeiro, calculamos a probabilidade complementar de ter menos de 2 concordâncias, ou seja, .
Já sabemos que .
Agora, calculamos :
Calculando:
Agora, somamos e :
Portanto,

Passo 5

iii) Probabilidade de entre 7 a 9 concordarem ( )

Vamos calcular .
Calculando :
Calculando :
Calculando :
Somando todas as probabilidades:
Portanto, a probabilidade é aproximadamente 77,1752%.

Passo 6

© Calculando o valor esperado e a variância

Valor Esperado ( ):
A fórmula para o valor esperado de uma distribuição binomial é:
Substituindo os valores:
Variância ( ):
A fórmula para a variância é:
Substituindo:
Portanto:
  • Valor Esperado: 8 cidadãos
  • Variância: 1,6

Passo 7

(d) Encontrando o quantil 0,2 do número de cidadãos

O quantil 0,2, também conhecido como o 20º percentil, é o menor valor de tal que a probabilidade acumulada até seja pelo menos 0,2.
Vamos calcular a distribuição acumulada até encontrarmos esse valor.
Calculando para diferentes valores de :
  1. Para :
Calculando cada e somando até , supondo que essa soma seja menor que 0,2.
  1. Para :
Com base nos cálculos anteriores, sabemos que . Somando as probabilidades até , provavelmente atingiremos ou ultrapassaremos 0,2.
Portanto, o quantil 0,2 é 7 cidadãos.

Resposta

(a) A função de probabilidade da variável aleatória é:
(b)
  • i)
  • ii)
  • iii)
©
  • Valor Esperado: cidadãos
  • Variância:
(d) O quantil 0,2 do número de cidadãos é 7.

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