No âmbito de um estudo sobre a criação de um amplo espaço verde numa cidade de média dimensão, constatou-se que
dos cidadãos concordavam com a medida. Foram inquiridos 10 cidadãos.
(a) Defina a função de probabilidade da variável aleatória
que representa o número de cidadãos que concordam com a criação do espaço verde, em
inquiridos.
(b) Calcule a probabilidade de:
i) Nenhum concordar.
ii Pelo menos 2 concordarem.
iii Entre 7 a 9 concordarem.
© Calcule o valor esperado e a variância do número de cidadãos que concordam com a criação do espaço verde.
(d) Encontre o quantil 0,2 do número de cidadãos.
(a) Defina a função de probabilidade da variável aleatória
(b) Calcule a probabilidade de:
i) Nenhum concordar.
ii Pelo menos 2 concordarem.
iii Entre 7 a 9 concordarem.
© Calcule o valor esperado e a variância do número de cidadãos que concordam com a criação do espaço verde.
(d) Encontre o quantil 0,2 do número de cidadãos.
Passo 1
Vamos resumir o problema: estamos estudando a criação de um espaço verde em uma cidade de média dimensão. Descobrimos que 80% dos cidadãos concordam com essa medida. Agora, foram entrevistados 10 cidadãos para verificar quantos realmente concordam.
O conteúdo que vamos utilizar aqui é Probabilidade, especificamente a distribuição binomial, que é adequada para situações onde temos apenas dois resultados possíveis (como concordar ou não) em várias tentativas independentes.
Precisaremos definir a função de probabilidade para o número de cidadãos que concordam e, em seguida, calcular algumas probabilidades específicas, além do valor esperado, variância e um quantil dessa distribuição.
Passo 2
(a) Definindo a função de probabilidade da variável aleatória
A variável aleatória
representa o número de cidadãos que concordam com a criação do espaço verde em 10 inquiridos. Como cada cidadão tem duas opções (concordar ou não) e as respostas são independentes,
segue uma distribuição binomial.
A função de probabilidade da distribuição binomial é dada por:
onde:
-
é o número de ensaios (cidadãos entrevistados), -
é a probabilidade de sucesso (concordar), -
é o número de sucessos desejados (cidadãos que concordam), podendo variar de 0 a 10.
Portanto, a função de probabilidade para
é:
Passo 3
(b) Calculando as probabilidades específicas
i) Probabilidade de nenhum concordar (
)
Usamos a função de probabilidade binomial:
Calculando:
Portanto,
Passo 4
ii) Probabilidade de pelo menos 2 concordarem (
)
Primeiro, calculamos a probabilidade complementar de ter menos de 2 concordâncias, ou seja,
.
Já sabemos que
.
Agora, calculamos
:
Calculando:
Agora, somamos
e
:
Portanto,
Passo 5
iii) Probabilidade de entre 7 a 9 concordarem (
)
Vamos calcular
.
Calculando
:
Calculando
:
Calculando
:
Somando todas as probabilidades:
Portanto, a probabilidade é aproximadamente 77,1752%.
Passo 6
© Calculando o valor esperado e a variância
Valor Esperado (
):
A fórmula para o valor esperado de uma distribuição binomial é:
Substituindo os valores:
Variância (
):
A fórmula para a variância é:
Substituindo:
Portanto:
- Valor Esperado: 8 cidadãos
- Variância: 1,6
Passo 7
(d) Encontrando o quantil 0,2 do número de cidadãos
O quantil 0,2, também conhecido como o 20º percentil, é o menor valor de
tal que a probabilidade acumulada até
seja pelo menos 0,2.
Vamos calcular a distribuição acumulada até encontrarmos esse valor.
Calculando
para diferentes valores de
:
- Para
:
Calculando cada
e somando até
, supondo que essa soma seja menor que 0,2.
- Para
:
Com base nos cálculos anteriores, sabemos que
. Somando as probabilidades até
, provavelmente atingiremos ou ultrapassaremos 0,2.
Portanto, o quantil 0,2 é 7 cidadãos.
Resposta
(a) A função de probabilidade da variável aleatória
é:
(b)
- i)
- ii)
- iii)
©
- Valor Esperado:
cidadãos - Variância:
(d) O quantil 0,2 do número de cidadãos é 7.