A demanda diária de arroz num supermercado, em centenas de quilos, é uma v.a. com f.d.p
f(x)=cc 2 x3 & se 0 <= x<1 -x3+1, & se se 1 <= x<3 0 ; & se x<0 ou x>3 :
(a) Qual a probabilidade de se vender mais do que 150 kg , num dia escolhido ao acaso?
(b) Em 30 dias, quanto o gerente do supermercado espera vender?
© Qual a quantidade de arroz que deve ser deixada à disposição dos clientes diariamente para que no não falte arroz em 95 % dos dias?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre a demanda diária de arroz num supermercado. Essa demanda é uma variável aleatória com uma função de densidade de probabilidade (f.d.p) definida por partes. A gente vai responder três perguntas usando conceitos de Probabilidade e Estatística, como funções de densidade, média e percentis.

Passo 2

Parte (a): Qual a probabilidade de se vender mais do que 150 kg, num dia escolhido ao acaso?
Primeiro, vamos entender que x está em centenas de quilos. Então, 150 kg é igual a 1,5 centenas de quilos. Queremos encontrar P(X > 1,5).
A gente sabe que a probabilidade de X ser maior que 1,5 é a integral da f.d.p de 1,5 até 3 (já que a função é zero depois de 3).
A função f(x) para 1 ≤ x ❤️ é f(x) = (-x/3) +1.
Vamos calcular a integral:
P(X > 1,5) = integral1,5^3 (-x3 +1) dx

Passo 3

Vamos resolver a integral:
integral (-x3 +1) dx = -x^26 + x + C
Agora, avaliamos de 1,5 a 3:
P(X > 1,5) = [-(3)^26 + 3] - [-(1,5)^26 + 1,5]
Calculando cada parte:
Para x = 3:
-96 + 3 = -1,5 + 3 = 1,5
Para x = 1,5:
-2,256 + 1,5 = -0,375 + 1,5 = 1,125
Então:
P(X > 1,5) = 1,5 - 1,125 = 0,375

Passo 4

A probabilidade é 0,375, o que equivale a 37,5%.

Passo 5

Parte (b): Em 30 dias, quanto o gerente do supermercado espera vender?
Aqui, queremos encontrar a esperança matemática (ou média) da demanda diária e multiplicar por 30 para obter a média total em 30 dias.
A fórmula da esperança é:
E(X) = integral-infty^infty x f(x) dx
Como nossa f.d.p está entre 0 e 3, integraremos nesse intervalo.
A função f(x) é definida por duas partes:
  1. Para 0 ≤ x <1: f(x) = (2x)/3
  2. Para 1 ≤ x ❤️: f(x) = (-x/3) +1
Vamos calcular separadamente:
E(X) = integral0^1 x cdot 2x3 dx + integral1^3 x cdot (-x3 +1) dx

Passo 6

Resolvendo as integrais:
Primeira parte:
integral0^1 2x^23 dx = 23 cdot x^33 |0^1 = 29
Segunda parte:
integral1^3 (-x^23 +x) dx = -13 cdot x^33 + x^22 |1^3
Calculando para x=3:
-19(27) + 92 = -3 + 4,5 = 1,5
Para x=1:
-19(1) + 12 = -19 + 12 = 49
Então:
1,5 - 49 = 2718 - 818 = 1918 approx 1,0556
Somando as duas partes:
E(X) = 29 + 1918 = 418 + 1918 = 2318 approx 1,2778 (centenas de kg)
Convertendo para quilos:
1,2778 times 100 approx 127,78 kg por dia
Em 30 dias:
127,78 times 30 approx 3.833,4 kg

Passo 7

O gerente espera vender aproximadamente 3.833,4 kg de arroz em 30 dias.

Passo 8

Parte ©: Qual a quantidade de arroz que deve ser deixada à disposição dos clientes diariamente para que no não falte arroz em 95% dos dias?
Queremos achar o percentil 95 da distribuição. Isso significa encontrar o valor de x tal que P(X ≤ x) = 0,95.
Vamos encontrar x onde a área acumulada até x é 0,95.
Como a função f(x) é definida em duas partes, precisamos ver onde o 95% se encaixa.
Sabemos que a área total é 1. Vamos calcular a área acumulada até x=1 e ver se 0,95 está acima:
integral0^1 2x3 dx = 23 cdot x^22 |0^1 = 13
Então, até x=1, já acumulamos 1/3 ≈ 0,3333.
Ainda falta alcançar 0,95, então a parte restante vem da segunda função (1 ≤ x ❤️).
Queremos:
13 + integral1^x (-t3 +1) dt = 0,95
Vamos chamar a integral de I:
I = integral1^x (-t3 +1) dt = (-t^26 + t) |1^x = (-x^26 +x) - (-16 +1) = -x^26 +x + 16 -1 = -x^26 +x - 56
Então:
13 + (-x^26 +x - 56) = 0,95
Simplificando:
-x^26 +x - 56 + 13 = 0,95
-x^26 +x - 56 + 26 = 0,95
-x^26 +x - 36 = 0,95
-x^26 +x - 0,5 = 0,95
-x^26 +x - 1,45 = 0
Multiplicando por 6 para eliminar denominadores:
-x^2 +6x -8,7 =0
Multiplicando por -1:
x^2 -6x +8,7=0
Resolvendo a equação quadrática:
x = 6 pm raiz36 - 34,82 = 6 pm raiz1,22 approx 6 pm 1,0952
Então, x ≈ (6 +1,095)/2 ≈ 3,5475 ou (6 -1,095)/2 ≈ 2,4525
Como nosso intervalo é 1 ≤ x ❤️, pegamos x ≈2,4525

Passo 9

Arredondando para facilitar, o gerente deve deixar aproximadamente 245 kg de arroz disponíveis diariamente para que não falte em 95% dos dias.

Resposta

(a) A probabilidade de vender mais do que 150 kg num dia é de 37,5%.
(b) Em 30 dias, o gerente espera vender aproximadamente 3.833,4 kg de arroz.
© O gerente deve deixar à disposição dos clientes aproximadamente 245 kg de arroz diariamente para que no não falte em 95% dos dias.

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