Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre a demanda diária de arroz num supermercado. Essa demanda é uma variável aleatória com uma função de densidade de probabilidade (f.d.p) definida por partes. A gente vai responder três perguntas usando conceitos de Probabilidade e Estatística, como funções de densidade, média e percentis.
Passo 2
Parte (a): Qual a probabilidade de se vender mais do que 150 kg, num dia escolhido ao acaso?
Primeiro, vamos entender que x está em centenas de quilos. Então, 150 kg é igual a 1,5 centenas de quilos. Queremos encontrar P(X > 1,5).
A gente sabe que a probabilidade de X ser maior que 1,5 é a integral da f.d.p de 1,5 até 3 (já que a função é zero depois de 3).
A função f(x) para 1 ≤ x ❤️ é f(x) = (-x/3) +1.
Vamos calcular a integral:
P(X > 1,5) = integral1,5^3 (-x3 +1) dx
Passo 3
Vamos resolver a integral:
integral (-x3 +1) dx = -x^26 + x + C
Agora, avaliamos de 1,5 a 3:
P(X > 1,5) = [-(3)^26 + 3] - [-(1,5)^26 + 1,5]
Calculando cada parte:
Para x = 3:
-96 + 3 = -1,5 + 3 = 1,5
Para x = 1,5:
-2,256 + 1,5 = -0,375 + 1,5 = 1,125
Então:
P(X > 1,5) = 1,5 - 1,125 = 0,375
Passo 4
A probabilidade é 0,375, o que equivale a 37,5%.
Passo 5
Parte (b): Em 30 dias, quanto o gerente do supermercado espera vender?
Aqui, queremos encontrar a esperança matemática (ou média) da demanda diária e multiplicar por 30 para obter a média total em 30 dias.
A fórmula da esperança é:
E(X) = integral-infty^infty x f(x) dx
Como nossa f.d.p está entre 0 e 3, integraremos nesse intervalo.
A função f(x) é definida por duas partes:
Para 0 ≤ x <1: f(x) = (2x)/3
Para 1 ≤ x ❤️: f(x) = (-x/3) +1
Vamos calcular separadamente:
E(X) = integral0^1 x cdot 2x3 dx + integral1^3 x cdot (-x3 +1) dx