A demanda diária de arroz num supermercado, em centenas de quilos, é uma v.a. com f.d.p
(a) Qual a probabilidade de se vender mais do que 150 kg , num dia escolhido ao acaso?
(b) Em 30 dias, quanto o gerente do supermercado espera vender?
© Qual a quantidade de arroz que deve ser deixada à disposição dos clientes diariamente para que no não falte arroz em dos dias?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre a demanda diária de arroz num supermercado. Essa demanda é uma variável aleatória com uma função de densidade de probabilidade (f.d.p) definida por partes. A gente vai responder três perguntas usando conceitos de Probabilidade e Estatística, como funções de densidade, média e percentis.

Passo 2

Parte (a): Qual a probabilidade de se vender mais do que 150 kg, num dia escolhido ao acaso?
Primeiro, vamos entender que x está em centenas de quilos. Então, 150 kg é igual a 1,5 centenas de quilos. Queremos encontrar P(X > 1,5).
A gente sabe que a probabilidade de X ser maior que 1,5 é a integral da f.d.p de 1,5 até 3 (já que a função é zero depois de 3).
A função f(x) para 1 ≤ x ❤️ é f(x) = (-x/3) +1.
Vamos calcular a integral:

Passo 3

Vamos resolver a integral:
Agora, avaliamos de 1,5 a 3:
Calculando cada parte:
Para x = 3:
Para x = 1,5:
Então:

Passo 4

A probabilidade é 0,375, o que equivale a 37,5%.

Passo 5

Parte (b): Em 30 dias, quanto o gerente do supermercado espera vender?
Aqui, queremos encontrar a esperança matemática (ou média) da demanda diária e multiplicar por 30 para obter a média total em 30 dias.
A fórmula da esperança é:
Como nossa f.d.p está entre 0 e 3, integraremos nesse intervalo.
A função f(x) é definida por duas partes:
  1. Para 0 ≤ x <1: f(x) = (2x)/3
  2. Para 1 ≤ x ❤️: f(x) = (-x/3) +1
Vamos calcular separadamente:

Passo 6

Resolvendo as integrais:
Primeira parte:
Segunda parte:
Calculando para x=3:
Para x=1:
Então:
Somando as duas partes:
Convertendo para quilos:
Em 30 dias:

Passo 7

O gerente espera vender aproximadamente 3.833,4 kg de arroz em 30 dias.

Passo 8

Parte ©: Qual a quantidade de arroz que deve ser deixada à disposição dos clientes diariamente para que no não falte arroz em 95% dos dias?
Queremos achar o percentil 95 da distribuição. Isso significa encontrar o valor de x tal que P(X ≤ x) = 0,95.
Vamos encontrar x onde a área acumulada até x é 0,95.
Como a função f(x) é definida em duas partes, precisamos ver onde o 95% se encaixa.
Sabemos que a área total é 1. Vamos calcular a área acumulada até x=1 e ver se 0,95 está acima:
Então, até x=1, já acumulamos 1/3 ≈ 0,3333.
Ainda falta alcançar 0,95, então a parte restante vem da segunda função (1 ≤ x ❤️).
Queremos:
Vamos chamar a integral de I:
Então:
Simplificando:
Multiplicando por 6 para eliminar denominadores:
Multiplicando por -1:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, x ≈ (6 +1,095)/2 ≈ 3,5475 ou (6 -1,095)/2 ≈ 2,4525
Como nosso intervalo é 1 ≤ x ❤️, pegamos x ≈2,4525

Passo 9

Arredondando para facilitar, o gerente deve deixar aproximadamente 245 kg de arroz disponíveis diariamente para que não falte em 95% dos dias.

Resposta

(a) A probabilidade de vender mais do que 150 kg num dia é de 37,5%.
(b) Em 30 dias, o gerente espera vender aproximadamente 3.833,4 kg de arroz.
© O gerente deve deixar à disposição dos clientes aproximadamente 245 kg de arroz diariamente para que no não falte em 95% dos dias.

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