A observação de atos de agressividade numa tribo de chimpanzés-pigmeus leva a crer que eles ocorrem de acordo com um processo de Poisson com taxa 7 / hora. a) O que é a taxa de um processo de Poisson? b) Em termos gerais, quantos atos de agressividade ocorrem durante um dia? c) Qual é a probabilidade de numa hora ocorrerem menos do que três atos de agressividade?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a observação de atos de agressividade numa tribo de chimpanzés-pigmeus. A gente vai trabalhar com um processo de Poisson, que é uma ferramenta da probabilidade usada para modelar eventos que acontecem de forma aleatória no tempo. Precisamos entender o que é a taxa desse processo, calcular o número médio de atos em um dia e descobrir a probabilidade de terem menos de três atos em uma hora.

Passo 2

a) O que é a taxa de um processo de Poisson?
A taxa de um processo de Poisson, geralmente denotada por λ (lambda), representa o número médio de vezes que um evento ocorre em um intervalo de tempo fixo. No nosso caso, a taxa é 7 por hora, o que significa que, em média, esperamos que 7 atos de agressividade ocorram a cada hora na tribo de chimpanzés-pigmeus.

Passo 3

b) Em termos gerais, quantos atos de agressividade ocorrem durante um dia?
Primeiro, vamos definir quanto tempo temos em um dia. Supondo que consideremos um dia como 24 horas, podemos usar a taxa para encontrar o número médio de atos em todo o dia.
A fórmula para o número esperado de eventos em um período de tempo T é:
Número médio = lambda times T úé
Substituindo os valores:
Número médio = 7 , atos/hora times 24 , horas = 168 , atos úé
Então, em um dia, esperamos que ocorram, em média, 168 atos de agressividade.

Passo 4

c) Qual é a probabilidade de numa hora ocorrerem menos do que três atos de agressividade?
Aqui, queremos calcular a probabilidade de que, em uma hora, ocorram 0, 1 ou 2 atos de agressividade. Como estamos lidando com um processo de Poisson, usamos a fórmula da distribuição de Poisson:
P(k; lambda) = e^-lambda lambda^kk!
onde:
  • P(0; 7) = e^-7 times 7^00! = e^-7 times 1 / 1 = e^-7 (taxa por hora),
  • P(1; 7) = e^-7 times 7^11! = e^-7 times 7 / 1 = 7e^-7 é o número de eventos (0, 1, 2).
Vamos calcular cada uma dessas probabilidades e somá-las.
Para P(2; 7) = e^-7 times 7^22! = e^-7 times 49 / 2 = 492e^-7 :
P(k < 3) = e^-7 + 7e^-7 + 492e^-7 = (1 + 7 + 24.5)e^-7 = 32.5e^-7
Para e^-7 approx 0.000911882 :
32.5 times 0.000911882 approx 0.02963
Para 0.02963 times 100 approx 2.963% :
Agora, somamos essas probabilidades:
Calculando numericamente:
Então:
Convertendo para porcentagem:
Portanto, a probabilidade de ocorrerem menos de três atos de agressividade em uma hora é de aproximadamente 2,96%.

Resposta

a) A taxa de um processo de Poisson é a média de eventos que ocorrem por unidade de tempo, no caso, 7 atos por hora.
b) Em um dia, ocorrem, em média, 168 atos de agressividade.
c) A probabilidade de ocorrerem menos de três atos de agressividade numa hora é de aproximadamente 2,96%.

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