Uma cadeia de hipermercados vende, por semana, uma quantidade de peixe (em toneladas) que admitimos ser uma v. a. X com a seguinte função densidade de probabilidade:
f(x)=lc 13, & 0á
(a) Represente graficamente a função de densidade de probabilidade.
(b) Descreva a função de distribuição de X e represente-a graficamente.
© Calcule a P(X <= 2).
(d) Encontre os quartis.
(e) Calcule E(X) e Var(X).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função densidade de probabilidade que descreve a quantidade de peixe vendida por semana em toneladas numa cadeia de hipermercados. Nosso objetivo é analisar essa função, desenhar gráficos, calcular probabilidades, quartis, a média e a variância dessa distribuição. Para isso, vamos precisar entender conceitos de funções densidade, função de distribuição acumulada, propriedades de distribuição contínua, e como calcular expectativa e variância.

Passo 2

(a) Representar graficamente a função de densidade de probabilidade.
Primeiro, vamos entender o que é uma função densidade de probabilidade (f.d.p.). Ela nos mostra a probabilidade relativa de uma variável contínua assumir determinados valores. Para que seja uma f.d.p. válida, a função deve ser não negativa em todo lugar e a integral dela no intervalo inteiro deve ser igual a 1.
No nosso caso, a função é:
f(x)= 13, & 0 < x < 3 0, & caso contrário á
Isso significa que a quantidade de peixe vendida por semana está uniformemente distribuída entre 0 e 3 toneladas, com uma densidade constante de 13 nesse intervalo.
Para desenhar o gráfico:
  1. No eixo x, colocamos os valores de x (quantidade de peixe).
  2. No eixo y, a função f(x), que é 13 entre 0 e 3.
  3. Fora desse intervalo, a função é 0.
Assim, teremos um retângulo com altura 13 de x = 0 a x = 3.

Passo 3

(b) Descrever a função de distribuição de F(x) e representá-la graficamente.
A função de distribuição acumulada (f.d.a.), denotada por F(x) = P(X <= x) = integral-infty^x f(t) , dt , nos dá a probabilidade de que a variável aleatória f(x) = 13 seja menor ou igual a um valor específico 0 < x < 3. Matematicamente:
No nosso caso, como para , vamos integrar essa função em diferentes intervalos:
  1. Para :
    • (já que não há vendas negativas).
  2. Para :
  3. Para :
    • (toda a probabilidade acumulada).
Para o gráfico:
  • De , .
  • De 0 a 3, aumenta linearmente de 0 a 1.
  • Para , .
Então, o gráfico é uma linha reta crescente de (0,0) a (3,1) e depois se mantém constante em 1.

Passo 4

© Calcular F(2) = P(X <= 2) = 13 times 2 = 23 .
Queremos a probabilidade de que a quantidade de peixe vendida seja no máximo 2 toneladas.
Usando a função de distribuição acumulada que encontramos:
23
Então, a probabilidade é , ou aproximadamente 66,67%.

Passo 5

(d) Encontrar os quartis.
Os quartis dividem a distribuição em quatro partes iguais. O primeiro quartil ( F(x) = 13x) corresponde a 25%, o segundo quartil ( 13x = 0,25 x = 0,25 times 3 = 0,75 ) é a mediana (50%) e o terceiro quartil ( 13x = 0,5 x = 0,5 times 3 = 1,5 ) é 75%.
Vamos usar a função de distribuição acumulada 13x = 0,75 x = 0,75 times 3 = 2,25 para encontrar os valores de x que correspondem a essas probabilidades.
  1. Primeiro Quartil ( ):
    Encontramos tal que :
  2. Segundo Quartil ( ) - Mediana:
    Encontramos tal que :
  3. Terceiro Quartil ( ):
    Encontramos tal que :
Portanto, os quartis são:
  • toneladas
  • toneladas
  • toneladas

Passo 6

(e) Calcular E(X) = integral-infty^infty x f(x) , dx e Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 .
Para uma distribuição contínua, a expectativa E(X) = integral0^3 x cdot 13 , dx = 13 integral0^3 x , dx = 13 [ x^22 ]0^3 = 13 ( 92 - 0 ) = 96 = 1,5 e a variância E(X^2) = integral0^3 x^2 cdot 13 , dx = 13 integral0^3 x^2 , dx = 13 [ x^33 ]0^3 = 13 ( 273 - 0 ) = 93 = 3 são calculadas da seguinte forma:
Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 3 - (1,5)^2 = 3 - 2,25 = 0,75
Primeiro, vamos calcular :
Dado que para :
Agora, calculamos :
Então, a variância:

Resposta

(a) O gráfico da função densidade de probabilidade é um retângulo com altura 13 entre x = 0 e x = 3.
(b) A função de distribuição acumulada de F(x)= 0, & x < 0 13x, & 0 <= x <= 3 1, & x > 3 é:
O gráfico é uma linha reta crescente de 0 a 1 entre 0 e 3, e constante fora desse intervalo.
© ou aproximadamente 66,67%.
(d) Os quartis são:
  • Primeiro quartil ( ) = 0,75 toneladas
  • Segundo quartil ( ) = 1,5 toneladas
  • Terceiro quartil ( ) = 2,25 toneladas
(e) A expectativa toneladas e a variância toneladas².

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