Das 100 crianças que frequentam o infantário Os Traquinas 15 são bebés com menos de 1 ano de idade. São selecionadas, ao acaso, 10 crianças para irem assistir às gravações do Batatoon.
a) Qual a probabilidade de nesse grupo não irem bebés com menos de 1 ano?
b) Qual o valor esperado e a variância da variável aleatória em estudo?
c) Encontre a mediana do número de bebes assistindo as gravações.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de probabilidade relacionado a seleção de crianças em um infantário. Existem 100 crianças no total, sendo 15 delas bebês com menos de 1 ano. Precisamos analisar a seleção aleatória de 10 crianças para assistir às gravações do Batatoon. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de probabilidade, especificamente a distribuição hipergeométrica, que é ótima para situações onde temos populações finitas sem reposição.

Passo 2

a) Qual a probabilidade de nesse grupo não irem bebês com menos de 1 ano?
Primeiro, vamos entender o que estamos procurando. Queremos a probabilidade de, ao selecionar 10 crianças, nenhuma delas seja um bebê de menos de 1 ano.
Isso é um caso de distribuição hipergeométrica, onde:
  • N (população total) = 100 crianças
  • K (número de sucessos na população) = 15 bebês
  • n (número de tentativas) = 10 crianças selecionadas
  • k (número de sucessos na amostra) = 0 bebês
A fórmula da probabilidade hipergeométrica é:
P(X = k) = dbinomKk dbinomN-Kn-kdbinomNn
Aplicando os valores:
P(X = 0) = dbinom150 dbinom8510dbinom10010
Vamos calcular cada parte:
  • P(X = 0) = 1 times dbinom8510dbinom10010 (já que qualquer número escolhido 0 vezes é 1)
  • é o número de maneiras de escolher 10 crianças que não são bebês
  • é o número total de maneiras de escolher 10 crianças de 100
Portanto:

Passo 3

Calculando os valores das combinações:
  • P(X = 0) = 2.005.679.60017.310.309.456.440 approx 0,1159 ou 11,59% = 2.005.679.600
  • = 17.310.309.456.440
Agora, substituindo na fórmula:

Passo 4

b) Qual o valor esperado e a variância da variável aleatória em estudo?
Aqui, queremos saber qual é o valor médio de bebês esperados na seleção e quanta variação podemos esperar desse valor médio.
Para uma distribuição hipergeométrica, o valor esperado (ou média) é dado por:
E(X) = n times KN
Substituindo:
E(X) = 10 times 15100 = 1,5
Então, em média, esperamos 1,5 bebês na seleção.
Agora, a variância é calculada por:
Var(X) = n times KN times N - KN times N - nN - 1
Substituindo os valores:
Var(X) = 10 times 15100 times 85100 times 9099
Calculando passo a passo:
Var(X) = 10 times 0,15 times 0,85 times 9099 approx 10 times 0,15 times 0,85 times 0,9091 approx 1,15
Então, a variância é aproximadamente 1,15.

Passo 5

c) Encontre a mediana do número de bebês assistindo às gravações.
A mediana é o valor que separa a metade inferior da metade superior dos dados. Para distribuições discretas como a hipergeométrica, a mediana é o menor valor P(X <= 1) = P(X = 0) + P(X = 1) tal que P(X = 1) = dbinom151 dbinom859dbinom10010 .
Vamos calcular P(X = 1) = 15 times 2.535.350.23517.310.309.456.440 approx 38.030.253.52517.310.309.456.440 approx 0,2199 ou 21,99% :
P(X <= 1) = 0,1159 + 0,2199 = 0,3358 ou 33,58%
Já sabemos que P(X = 2) = dbinom152 dbinom858dbinom10010 .
Agora, calculando P(X = 2) = 105 times 3.432.159.18517.310.309.456.440 approx 360.125.381.92517.310.309.456.440 approx 0,0208 ou 20,08% :
P(X <= 2) = 0,3358 + 0,208 approx 0,5438 ou 54,38%
Calculando as combinações:
Então:
Agora, somando:
Como 33,58% < 50%, precisamos incluir .
Calculando :
Calculando as combinações:
Então:
Agora, somando novamente:
Como agora , a mediana é 2.

Resposta

a) A probabilidade é aproximadamente 11,59%.
b) O valor esperado é 1,5 e a variância é aproximadamente 1,15.
c) A mediana do número de bebês assistindo às gravações é 2.

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