Das 100 crianças que frequentam o infantário Os Traquinas 15 são bebés com menos de 1 ano de idade. São selecionadas, ao acaso, 10 crianças para irem assistir às gravações do Batatoon.
a) Qual a probabilidade de nesse grupo não irem bebés com menos de 1 ano?
b) Qual o valor esperado e a variância da variável aleatória em estudo?
c) Encontre a mediana do número de bebes assistindo as gravações.
a) Qual a probabilidade de nesse grupo não irem bebés com menos de 1 ano?
b) Qual o valor esperado e a variância da variável aleatória em estudo?
c) Encontre a mediana do número de bebes assistindo as gravações.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício de probabilidade relacionado a seleção de crianças em um infantário. Existem 100 crianças no total, sendo 15 delas bebês com menos de 1 ano. Precisamos analisar a seleção aleatória de 10 crianças para assistir às gravações do Batatoon. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de probabilidade, especificamente a distribuição hipergeométrica, que é ótima para situações onde temos populações finitas sem reposição.
Passo 2
a) Qual a probabilidade de nesse grupo não irem bebês com menos de 1 ano?
Primeiro, vamos entender o que estamos procurando. Queremos a probabilidade de, ao selecionar 10 crianças, nenhuma delas seja um bebê de menos de 1 ano.
Isso é um caso de distribuição hipergeométrica, onde:
- N (população total) = 100 crianças
- K (número de sucessos na população) = 15 bebês
- n (número de tentativas) = 10 crianças selecionadas
- k (número de sucessos na amostra) = 0 bebês
A fórmula da probabilidade hipergeométrica é:
Aplicando os valores:
Vamos calcular cada parte:
-
(já que qualquer número escolhido 0 vezes é 1) -
é o número de maneiras de escolher 10 crianças que não são bebês -
é o número total de maneiras de escolher 10 crianças de 100
Portanto:
Passo 3
Calculando os valores das combinações:
-
= 2.005.679.600 -
= 17.310.309.456.440
Agora, substituindo na fórmula:
Passo 4
b) Qual o valor esperado e a variância da variável aleatória em estudo?
Aqui, queremos saber qual é o valor médio de bebês esperados na seleção e quanta variação podemos esperar desse valor médio.
Para uma distribuição hipergeométrica, o valor esperado (ou média) é dado por:
Substituindo:
Então, em média, esperamos 1,5 bebês na seleção.
Agora, a variância é calculada por:
Substituindo os valores:
Calculando passo a passo:
Então, a variância é aproximadamente 1,15.
Passo 5
c) Encontre a mediana do número de bebês assistindo às gravações.
A mediana é o valor que separa a metade inferior da metade superior dos dados. Para distribuições discretas como a hipergeométrica, a mediana é o menor valor
tal que
.
Vamos calcular
:
Já sabemos que
.
Agora, calculando
:
Calculando as combinações:
Então:
Agora, somando:
Como 33,58% < 50%, precisamos incluir
.
Calculando
:
Calculando as combinações:
Então:
Agora, somando novamente:
Como agora
, a mediana é 2.
Resposta
a) A probabilidade é aproximadamente 11,59%.
b) O valor esperado é 1,5 e a variância é aproximadamente 1,15.
c) A mediana do número de bebês assistindo às gravações é 2.