Uma cidade contém 5 assistências técnicas diferentes que concertam televisões. Suponha que 9 diferentes aparelhos estragados foram alocados aleatoriamente as 5 assistências técnicas. Calcule a probabilidade de que exatamente 2 assistências téenicas sejam utilizadas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos 5 assistências técnicas diferentes que consertam TVs e 9 aparelhos estragados que foram distribuídos aleatoriamente entre elas. Queremos descobrir qual é a probabilidade de que exatamente 2 dessas assistências sejam usadas para consertar os 9 aparelhos. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de combinatória e probabilidade, especialmente sobre como calcular combinações e distribuições de itens entre grupos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o número total de maneiras de distribuir os 9 aparelhos entre as 5 assistências técnicas. Como cada aparelho pode ir para qualquer uma das 5 assistências, o total de combinações possíveis é . Isso porque para cada um dos 9 aparelhos, temos 5 opções.

Passo 3

Agora, queremos saber de quantas maneiras exatamente 2 assistências técnicas são utilizadas. Primeiro, escolhemos quais 2 das 5 assistências serão usadas. Isso pode ser feito de maneiras, onde representa uma combinação de n elementos tomados k a k.

Passo 4

Depois de escolher as 2 assistências técnicas, precisamos distribuir os 9 aparelhos entre elas. Cada aparelho tem 2 opções (entre as 2 assistências escolhidas). Porém, queremos que nenhuma das assistências fique sem aparelho, ou seja, cada uma deve receber pelo menos 1 aparelho. Para isso, usamos o princípio da inclusão-exclusão. O número de maneiras de distribuir os 9 aparelhos para 2 assistências sem restrições é . Mas descontamos as duas possibilidades onde todos os aparelhos vão para uma única assistência, então temos .

Passo 5

Agora, multiplicamos o número de maneiras de escolher as 2 assistências pelo número de maneiras de distribuir os aparelhos entre elas sem deixar nenhuma vazia: .

Passo 6

Finalmente, para encontrar a probabilidade, dividimos o número de casos favoráveis pelo número total de casos possíveis:
Probabilidade = binom52 times (2^9 - 2)5^9

Resposta

Calculando os valores:
binom52 = 10, 2^9 = 512, 2^9 - 2 = 510, 5^9 = 1953125
Portanto:
Probabilidade = 10 times 5101953125 = 51001953125 approx 0,002615
Então, a probabilidade de que exatamente 2 assistências técnicas sejam utilizadas é aproximadamente 0,2615%.

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