Em 100 lançamentos independentes de uma moeda com probabilidade p de dar cara, observamos 64 caras e 36 coroas.
(a) Obtenha um intervalo de confiança para p com cobertura 95.4 %.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem 100 lançamentos de uma moeda onde a probabilidade de dar cara é p. Observamos 64 caras e 36 coroas. Nosso objetivo aqui é encontrar um intervalo de confiança para p com 95,4% de confiança. Isso está ligado à matéria de estatística, especificamente na parte de intervalos de confiança para proporções.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é um intervalo de confiança. Basicamente, é uma faixa de valores dentro da qual acreditamos que o verdadeiro valor de p está, com uma certa confiança (neste caso, 95,4%). Para calcular isso, usamos a fórmula:
p pm z times raizp(1 - p)n
Onde:
  • p é a proporção observada de caras.
  • z é o valor que corresponde ao nível de confiança desejado.
  • n é o número total de lançamentos.

Passo 3

Vamos calcular p. Isso é simplesmente o número de caras dividido pelo total de lançamentos:
p = 64100 = 0,64
Então, nossa proporção observada é 0,64 ou 64%.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o valor de z que corresponde a um intervalo de confiança de 95,4%. Esse valor nos indica quantos desvios padrão a gente vai considerar. Para 95,4%, usamos aproximadamente z = 2. Isso porque esse nível de confiança está relacionado a cerca de 2 desvios padrão na distribuição normal.

Passo 5

Com os valores de p e z em mãos, vamos calcular a margem de erro:
Mar>=m de Erro = z times raizp(1 - p)n = 2 times raiz0,64 times 0,36100 = 2 times raiz0,2304100 = 2 times 0,048 = 0,096
Então, a margem de erro é 0,096 ou 9,6%.

Passo 6

Finalmente, vamos determinar o intervalo de confiança adicionando e subtraindo a margem de erro da proporção observada:
p - Mar>=m de Erro = 0,64 - 0,096 = 0,544
p + Mar>=m de Erro = 0,64 + 0,096 = 0,736

Resposta

O intervalo de confiança para p com 95,4% de confiança é de 54,4% a 73,6%.

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