Com uma amostra aleatória de tamanho n=144, alguém propôs que
(barX-0.12 sigma, barX+0.12 sigma)
é um intervalo de confiança para mu. Qual é, então, o nível de confiança?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma amostra aleatória com tamanho $ n = 144 $ e foi proposto um intervalo de confiança para a média $ \mu $ na forma:
n = 144
O que queremos descobrir é qual é o nível de confiança desse intervalo. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre intervalos de confiança e como eles são calculados usando a distribuição normal.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um intervalo de confiança. Ele nos dá uma faixa de valores dentro da qual esperamos que a verdadeira média $ \mu $ esteja, com um certo nível de confiança. A fórmula geral para um intervalo de confiança quando conhecemos o desvio padrão $ \sigma $ é:
mu
Aqui, $ z^* $ é o valor crítico que corresponde ao nível de confiança desejado.

Passo 3

Comparando a fórmula geral com o intervalo dado na questão:
(barX - 0.12 sigma, barX + 0.12 sigma)
Vemos que a parte que corresponde a $ z^* \left( \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right) $ é $ 0.12 \sigma $. Então podemos igualar os dois:
z^* ( sigmaraizn )

Passo 4

Vamos resolver para $ z^* $:
z^*
Sabendo que $ n = 144 $, temos:
z^* = 0.12 sigma div ( sigmaraizn ) = 0.12 times raizn

Passo 5

Agora que encontramos $ z^* = 1.44 $, queremos saber qual é a probabilidade de a média amostral estar dentro de $ 1.44 $ desvios padrões da média verdadeira. Isso corresponde ao nível de confiança.
Consultando uma tabela da distribuição normal padrão ou usando uma calculadora, encontramos que:
z^* = 1.44

Resposta

O nível de confiança é de aproximadamente 85%.

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