Com uma amostra aleatória de tamanho
, alguém propôs que
é um intervalo de confiança para
. Qual é, então, o nível de confiança?
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma amostra aleatória com tamanho $ n = 144 $ e foi proposto um intervalo de confiança para a média $ \mu $ na forma:
O que queremos descobrir é qual é o nível de confiança desse intervalo. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre intervalos de confiança e como eles são calculados usando a distribuição normal.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um intervalo de confiança. Ele nos dá uma faixa de valores dentro da qual esperamos que a verdadeira média $ \mu $ esteja, com um certo nível de confiança. A fórmula geral para um intervalo de confiança quando conhecemos o desvio padrão $ \sigma $ é:
Aqui, $ z^* $ é o valor crítico que corresponde ao nível de confiança desejado.
Passo 3
Comparando a fórmula geral com o intervalo dado na questão:
Vemos que a parte que corresponde a $ z^* \left( \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right) $ é $ 0.12 \sigma $. Então podemos igualar os dois:
Passo 4
Vamos resolver para $ z^* $:
Sabendo que $ n = 144 $, temos:
Passo 5
Agora que encontramos $ z^* = 1.44 $, queremos saber qual é a probabilidade de a média amostral estar dentro de $ 1.44 $ desvios padrões da média verdadeira. Isso corresponde ao nível de confiança.
Consultando uma tabela da distribuição normal padrão ou usando uma calculadora, encontramos que:
Resposta
O nível de confiança é de aproximadamente 85%.