O Centro Nacional de Estatísticas de Saúde informou que 11,2% das cirurgias de internação em hospitais norte-americanos durante 1987 foram de operações do sistema cardiovascular. Suponha que, de uma amostra aleatória de 2100 cirurgias em internados realizadas em 1996, 181 tenham envolvido operações cardiovasculares.
(a) Este achado forneceria forte apoio à conjectura de que cirurgias envolvendo operações cardiovasculares representaram menos de 10 % de todas as cirurgias de pacientes internados em 1996?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de estatística que envolve teste de hipóteses para proporções. A gente sabe que, em 1987, 11,2% das cirurgias em hospitais norte-americanos eram do sistema cardiovascular. Agora, em 1996, uma amostra de 2100 cirurgias mostrou que 181 foram cardiovasculares. A pergunta é: esse achado apoia a ideia de que, em 1996, menos de 10% das cirurgias eram cardiovasculares? Para resolver isso, vamos fazer um teste de hipóteses para ver se a proporção realmente diminuiu para menos de 10%.

Passo 2

Primeiro, vamos estabelecer as hipóteses que vamos testar.
  • Hipótese Nula (H₀): A proporção de cirurgias cardiovasculares em 1996 é igual a 10%, ou seja, $ p = 0,10 $.
  • Hipótese Alternativa (H₁): A proporção de cirurgias cardiovasculares em 1996 é menor que 10%, ou seja, $ p < 0,10 $.
Estamos testando se houve uma redução na proporção.

Passo 3

Agora, vamos calcular a proporção amostral das cirurgias cardiovasculares em 1996.
p = número de cirurgias cardiovascularestamanho da amostra = 1812100 approx 0,0862 ú
Então, nossa proporção amostral é aproximadamente 8,62%.

Passo 4

Vamos calcular o erro padrão da proporção sob a hipótese nula. O erro padrão é dado por:
Erro Padrão = raizp0 (1 - p0)n ã
onde:
  • $ p_0 = 0,10 $ (proporção na hipótese nula)
  • $ n = 2100 $ (tamanho da amostra)
p0 = 0,10 ã

Passo 5

Agora, vamos calcular o estatístico de teste (valor z) usando a fórmula:
z = p - p0Erro Padrão ã
Substituindo os valores:
z = 0,0862 - 0,100,00655 approx -0,01380,00655 approx -2,11

Passo 6

Com o valor z calculado, vamos encontrar o valor-p correspondente. O valor-p representa a probabilidade de obtermos um resultado tão extremo quanto o observado, assumindo que a hipótese nula é verdadeira.
Para $ z = -2,11 $, usando uma tabela de distribuição normal ou uma calculadora:
z = -2,11

Passo 7

Vamos comparar o valor-p com o nível de significância comum, que geralmente é $ \alpha = 0,05 $.
Como $ 0,0174 < 0,05 $, rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Sim, o achado fornece um forte apoio à conjectura de que, em 1996, menos de 10 % das cirurgias de pacientes internados eram operações cardiovasculares.

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