11-30= Calcule o limite, se existir.
24. lim x 2 x^2-16x-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular o limite quando se aproxima de 2 da função . Esse problema está na área de Cálculo, mais especificamente no tópico de limites. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões algébricas e aplicar conceitos básicos de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir o valor 2^2 - 162 - 2 = 4 - 160 = -120 diretamente na função para ver o que acontece:
Aqui, vemos que estamos dividindo por zero, o que é indefinido. Isso significa que precisamos de outra abordagem para encontrar o limite.

Passo 3

Quando nos deparamos com uma indeterminação do tipo x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4) ou divisão por zero, uma técnica comum é simplificar a expressão algébrica. Vamos fatorar o numerador (x - 4)(x + 4)x - 2 :
Agora, substituímos de volta na função:
Até aqui, não conseguimos cancelar nenhum fator, então precisamos pensar em outra estratégia.

Passo 4

Vamos analisar o comportamento da função à medida que (2 - 4)(2 + 4) = (-2)(6) = -12 se aproxima de 2. Observamos que o denominador está se aproximando de zero. O numerador, por sua vez, quando se aproxima de 2, se torna:
Então, temos uma constante negativa dividida por um valor que está se aproximando de zero. Dependendo do lado por onde se aproxima de 2, o denominador pode ser positivo ou negativo.

Passo 5

Vamos considerar se aproximando de 2 pela direita ( > 2):
  • O denominador é positivo e está se aproximando de zero.
  • Portanto, tende a .
Agora, se se aproxima de 2 pela esquerda ( < 2):
  • O denominador é negativo e está se aproximando de zero.
  • Assim, tende a .

Passo 6

Como os limites laterais são diferentes (um tende a e o outro a ), o limite geral não existe da forma convencional. No entanto, podemos dizer que o limite tende a ou dependendo da direção da aproximação.

Resposta

O limite não existe no sentido convencional, mas cresce sem limite negativo quando se aproxima de 2 pela direita e sem limite positivo quando se aproxima pela esquerda.

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