Calcule o limite, se existir.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular o limite quando
se aproxima de 2 da função
. Esse problema está na área de Cálculo, mais especificamente no tópico de limites. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões algébricas e aplicar conceitos básicos de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir o valor
diretamente na função para ver o que acontece:
Aqui, vemos que estamos dividindo por zero, o que é indefinido. Isso significa que precisamos de outra abordagem para encontrar o limite.
Passo 3
Quando nos deparamos com uma indeterminação do tipo
ou divisão por zero, uma técnica comum é simplificar a expressão algébrica. Vamos fatorar o numerador
:
Agora, substituímos de volta na função:
Até aqui, não conseguimos cancelar nenhum fator, então precisamos pensar em outra estratégia.
Passo 4
Vamos analisar o comportamento da função à medida que
se aproxima de 2. Observamos que o denominador
está se aproximando de zero. O numerador, por sua vez, quando
se aproxima de 2, se torna:
Então, temos uma constante negativa dividida por um valor que está se aproximando de zero. Dependendo do lado por onde
se aproxima de 2, o denominador pode ser positivo ou negativo.
Passo 5
Vamos considerar
se aproximando de 2 pela direita (
> 2):
- O denominador
é positivo e está se aproximando de zero. - Portanto,
tende a .
Agora, se
se aproxima de 2 pela esquerda (
< 2):
- O denominador
é negativo e está se aproximando de zero. - Assim,
tende a .
Passo 6
Como os limites laterais são diferentes (um tende a
e o outro a
), o limite geral não existe da forma convencional. No entanto, podemos dizer que o limite tende a
ou
dependendo da direção da aproximação.
Resposta
O limite não existe no sentido convencional, mas cresce sem limite negativo quando
se aproxima de 2 pela direita e sem limite positivo quando se aproxima pela esquerda.