Prove que um tabuleiro de dimensões
pode ser ladrilhado por peças de dimensão
se e somente se
e
são ambos pares.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo: precisamos provar que um tabuleiro com dimensões
pode ser coberto completamente com peças de
se e somente se tanto
quanto
forem números pares. Para resolver isso, vamos usar conceitos de divisibilidade e cobertura de áreas com peças de tamanho fixo.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar se o tabuleiro pode ser coberto com peças de
, então tanto
quanto
devem ser pares. Pense assim: cada peça de
cobre exatamente 4 unidades de área. Se o tabuleiro for completamente coberto por essas peças, a área total do tabuleiro (
) deve ser múltipla de 4.
Para que
seja múltiplo de 4, tanto
quanto
precisam ser pares. Se um deles fosse ímpar, a multiplicação resultaria em um número ímpar ou não múltiplo de 4, o que impediria a cobertura perfeita com peças de
.
Passo 3
Agora, vamos provar o outro lado: se
e
são ambos pares, então podemos cobrir o tabuleiro com peças de
. Como
e
são pares, podemos dividir o tabuleiro em quadrados menores de
sem deixar nenhum espaço sobrando.
Por exemplo, se
e
, dividimos o tabuleiro em 12 quadrados de
(porque
e
, então
quadrados ao longo de cada dimensão). Assim, cada peça de
cobre exatamente um desses quadrados menores, e todo o tabuleiro fica perfeitamente coberto.
Resposta
Portanto, um tabuleiro de dimensões
pode ser ladrilhado por peças de
se e somente se tanto
quanto
são números pares.