Prove que um tabuleiro de dimensões
pode ser ladrilhado por peças de dimensão
se e somente se
e
são ambos pares.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo: precisamos provar que um tabuleiro com dimensões
pode ser coberto completamente com peças de
se e somente se tanto
quanto
forem números pares. Para resolver isso, vamos usar conceitos de divisibilidade e cobertura de áreas com peças de tamanho fixo.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar se o tabuleiro pode ser coberto com peças de
, então tanto
quanto
devem ser pares. Pense assim: cada peça de
cobre exatamente 4 unidades de área. Se o tabuleiro for completamente coberto por essas peças, a área total do tabuleiro (
) deve ser múltipla de 4.
Para que
seja múltiplo de 4, tanto
quanto
precisam ser pares. Se um deles fosse ímpar, a multiplicação resultaria em um número ímpar ou não múltiplo de 4, o que impediria a cobertura perfeita com peças de
.
Passo 3
Agora, vamos provar o outro lado: se
e
são ambos pares, então podemos cobrir o tabuleiro com peças de
. Como
e
são pares, podemos dividir o tabuleiro em quadrados menores de
sem deixar nenhum espaço sobrando.
Por exemplo, se
e
, dividimos o tabuleiro em 12 quadrados de
(porque
e
, então
quadrados ao longo de cada dimensão). Assim, cada peça de
cobre exatamente um desses quadrados menores, e todo o tabuleiro fica perfeitamente coberto.
Resposta
Portanto, um tabuleiro de dimensões
pode ser ladrilhado por peças de
se e somente se tanto
quanto
são números pares.
Exercícios relacionados
24.
Complete the sentences with a suitable verb in the past form
f) He his hair in the new barber shop
f) He
Calcule os limites justificando cada passagem pelas Leis do Limite que forem usadas.
7.
7.
Seja
definido para
. Prove que
para todo inteiro
.