Prove que um tabuleiro de dimensões n * m pode ser ladrilhado por peças de dimensão 2 * 2 se e somente se n e m são ambos pares.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo: precisamos provar que um tabuleiro com dimensões n * m pode ser coberto completamente com peças de 2 * 2 se e somente se tanto n quanto m forem números pares. Para resolver isso, vamos usar conceitos de divisibilidade e cobertura de áreas com peças de tamanho fixo.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar se o tabuleiro pode ser coberto com peças de 2 * 2, então tanto n quanto m devem ser pares. Pense assim: cada peça de 2 * 2 cobre exatamente 4 unidades de área. Se o tabuleiro for completamente coberto por essas peças, a área total do tabuleiro ( n * m) deve ser múltipla de 4.
Para que n * m seja múltiplo de 4, tanto n quanto m precisam ser pares. Se um deles fosse ímpar, a multiplicação resultaria em um número ímpar ou não múltiplo de 4, o que impediria a cobertura perfeita com peças de 2 * 2.

Passo 3

Agora, vamos provar o outro lado: se n e m são ambos pares, então podemos cobrir o tabuleiro com peças de 2 * 2. Como n e m são pares, podemos dividir o tabuleiro em quadrados menores de 2 * 2 sem deixar nenhum espaço sobrando.
Por exemplo, se e , dividimos o tabuleiro em 12 quadrados de 2 * 2 (porque e , então quadrados ao longo de cada dimensão). Assim, cada peça de 2 * 2 cobre exatamente um desses quadrados menores, e todo o tabuleiro fica perfeitamente coberto.

Resposta

Portanto, um tabuleiro de dimensões n * m pode ser ladrilhado por peças de 2 * 2 se e somente se tanto n quanto m são números pares.

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