Calcule os limites justificando cada passagem pelas Leis do Limite que forem usadas.
7. lim x (1+3 x1+4 x^2+3 x^2)^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular:
limx infty (1 + 3x1 + 4x^2 + 3x^2)^3
Aqui, estamos lidando com limites de funções racionais, ou seja, funções que são razão de polinômios. Para resolver, vamos usar as Leis dos Limites que nos ajudam a simplificar expressões desse tipo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador. Observamos que:
1 + 4x^2 + 3x^2 = 1 + 7x^2
Então, nossa expressão fica:
limx infty (1 + 3x1 + 7x^2)^3

Passo 3

Agora, para facilitar o cálculo, vamos dividir o numerador e o denominador por 1 + 3x1 + 7x^2 = 1x^2 + 3x1x^2 + 7 , que é o maior grau presente na expressão. Isso ajuda a identificar o comportamento do limite quando vai para o infinito.
Dividindo cada termo por :

Passo 4

Vamos analisar o que acontece quando 0 + 00 + 7 = 07 = 0 tende ao infinito:
  • vai para 0.
  • também vai para 0.
  • O denominador tem que vai para 0 e 7 que permanece.
Então, a expressão simplifica para:

Passo 5

Agora, voltando à nossa expressão original, que estava elevada ao cubo:
(1 + 3x1 + 7x^2)^3 0^3 = 0

Resposta

O limite é igual a 0.

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