Dadas as matrizes A = | 1 3 | 2 4 | e B = | -1 2 | 3 1 | o determinante da matriz A vezes B é ?
A) -1
B) 6
C) 10
D) 12
E) 14
A) -1
B) 6
C) 10
D) 12
E) 14
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício envolvendo matrizes e determinantes. O enunciado nos dá duas matrizes, A e B, e pede para descobrir qual é o determinante da matriz resultante da multiplicação dessas duas, ou seja, det(A × B). Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular determinantes de matrizes e também como a multiplicação de matrizes funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o determinante de uma matriz. O determinante é um número que podemos calcular a partir de uma matriz quadrada (mesmo número de linhas e colunas) e que nos dá informações importantes sobre a matriz, como se ela é invertível. Para matrizes 2x2, a fórmula é bem simples:
Se temos uma matriz C =
então o determinante de C, denotado por det©, é calculado assim:
Passo 3
Agora, vamos lembrar de uma propriedade importante dos determinantes quando multiplicamos duas matrizes. A propriedade diz que o determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes dessas matrizes. Em termos matemáticos:
Isso significa que, em vez de multiplicar as matrizes A e B primeiro e depois calcular o determinante, podemos calcular os determinantes de A e B separadamente e depois multiplicar esses resultados. Isso simplifica bastante o nosso trabalho!
Passo 4
Vamos calcular o determinante da matriz A. A matriz A é:
Usando a fórmula do determinante para matrizes 2x2:
Passo 5
Agora, vamos calcular o determinante da matriz B. A matriz B é:
Aplicando a mesma fórmula:
Passo 6
Com os determinantes de A e B calculados, vamos usar a propriedade que mencionamos antes para encontrar o determinante de A × B:
Resposta
A alternativa correta é a E) 14.