Dadas as matrizes A = | 1 3 | 2 4 | e B = | -1 2 | 3 1 | o determinante da matriz A vezes B é ?
A) -1
B) 6
C) 10
D) 12
E) 14

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício envolvendo matrizes e determinantes. O enunciado nos dá duas matrizes, A e B, e pede para descobrir qual é o determinante da matriz resultante da multiplicação dessas duas, ou seja, det(A × B). Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular determinantes de matrizes e também como a multiplicação de matrizes funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o determinante de uma matriz. O determinante é um número que podemos calcular a partir de uma matriz quadrada (mesmo número de linhas e colunas) e que nos dá informações importantes sobre a matriz, como se ela é invertível. Para matrizes 2x2, a fórmula é bem simples:
Se temos uma matriz C =
a & b c & d
então o determinante de C, denotado por det©, é calculado assim:
det(C) = a times d - b times c

Passo 3

Agora, vamos lembrar de uma propriedade importante dos determinantes quando multiplicamos duas matrizes. A propriedade diz que o determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes dessas matrizes. Em termos matemáticos:
det(A times B) = det(A) times det(B)
Isso significa que, em vez de multiplicar as matrizes A e B primeiro e depois calcular o determinante, podemos calcular os determinantes de A e B separadamente e depois multiplicar esses resultados. Isso simplifica bastante o nosso trabalho!

Passo 4

Vamos calcular o determinante da matriz A. A matriz A é:
A = 1 & 3 2 & 4
Usando a fórmula do determinante para matrizes 2x2:
det(A) = (1 times 4) - (3 times 2) = 4 - 6 = -2

Passo 5

Agora, vamos calcular o determinante da matriz B. A matriz B é:
B = -1 & 2 3 & 1
Aplicando a mesma fórmula:
det(B) = (-1 times 1) - (2 times 3) = -1 - 6 = -7

Passo 6

Com os determinantes de A e B calculados, vamos usar a propriedade que mencionamos antes para encontrar o determinante de A × B:
det(A times B) = det(A) times det(B) = (-2) times (-7) = 14

Resposta

A alternativa correta é a E) 14.

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