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Dê exemplo de uma matriz cujos vetores-linha geram um subespaço de diferente daquele gerado pelos vetores-coluna.

Passo 1

Então, a gente vai resolver um exercício que pede para encontrar uma matriz cujas linhas geram um subespaço de diferente daquele que as colunas geram. Aqui, estamos lidando com conceitos de espaços vetoriais, espaço gerado por vetores linha e espaço gerado por vetores coluna. Para resolver isso, precisamos entender que a linha de uma matriz é basicamente um vetor que representa uma dimensão no espaço, e o mesmo vale para as colunas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o espaço gerado pelas linhas de uma matriz é chamado de espaço linha, e o espaço gerado pelas colunas é chamado de espaço coluna. Se quisermos que esses dois espaços sejam diferentes, a matriz não pode ser de posto completo, ou seja, seu posto (o número de linhas ou colunas linearmente independentes) deve ser menor que 3.

Passo 3

Vamos construir uma matriz onde as linhas são linearmente independentes entre si, mas as colunas não são, ou vice-versa. Por exemplo, podemos criar uma matriz onde duas linhas são diferentes e a terceira é uma combinação das duas, enquanto as colunas formam um conjunto diferente de vetores que também não são totalmente independentes.

Passo 4

Vamos escolher uma matriz onde as duas primeiras linhas são diferentes e a terceira é uma combinação das duas. Isso garante que o espaço linha seja de dimensão 2. Agora, vamos escolher as colunas de forma que também gerem um espaço de dimensão 2, mas que seja diferente do espaço linha.

Passo 5

Uma matriz que atende a esses critérios é:

Passo 6

Vamos verificar:
  • Espaço Linha: As primeiras duas linhas são e , que são vetores linearmente independentes. A terceira linha é uma combinação das duas ( ), então o espaço linha é gerado por e .
  • Espaço Coluna: As colunas são , e . As duas primeiras colunas são linearmente independentes, e a terceira é o vetor zero, então o espaço coluna é gerado por e .
Como os espaços estão gerados por conjuntos de vetores diferentes, o espaço linha e o espaço coluna são distintos.

Resposta

Um exemplo de matriz que atende ao solicitado é:

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Sabendo que as retas abaixo são reversas, calcule a distância entre elas:
Determine a equação geral do plano que contém as seguintes retas:
(a) e
(b) e
Considere as retas
b) Calcule a distuincia entre as retas res .
Verifique se a reta eo plano sao paralelos, ou ser , ou se existe un ponto tal que , onde