Considere as retas
r: x-32--1-y3, z=2 ::lll x= & -1 & +t y & 4 & -2 t z & -8 & +1
b) Calcule a distuincia entre as retas res . eos theta=|ui| uf mid|u||u|

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a distância entre duas retas no espaço. Para isso, vamos usar conteúdos de geometria analítica, especificamente sobre retas e distância entre elas. Vamos precisar identificar as equações das retas, encontrar vetores diretores e aplicar a fórmula da distância entre retas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações das duas retas. A reta x - 32 = -1 - y3, z = 2 está dada por:
x = -1 + t y = 4 - 2t z = -8 + 1
E a reta está parametrizada por:
Observando a segunda reta, parece que há um pequeno erro na equação de . Provavelmente, ela deveria ser .

Passo 3

Vamos reescrever as equações das retas de forma mais clara. Para a reta x = 3 + 2t y = -1 - 3t z = 2 , podemos parametrizar com x = -1 + t y = 4 - 2t z = -8 + t :
Para a reta , assumindo que :

Passo 4

Agora, identificamos os vetores diretores de cada reta. O vetor diretor da reta ur = lang<= 2, -3, 0 rang<= é dado pelos coeficientes de us = lang<= 1, -2, 1 rang<= nas equações:
E o vetor diretor da reta é:

Passo 5

Para calcular a distância entre as duas retas, usamos a fórmula:
d = |PQ cdot (ur times us)||ur times us|
Onde:
  • é o vetor que vai de um ponto da reta para um ponto da reta
  • representa o produto vetorial
  • representa o produto escalar

Passo 6

Escolhemos pontos específicos em cada reta. Para P = (3, -1, 2) , quando Q = (-1, 4, -8) :
PQ = Q - P = lang<= -1 - 3, 4 - (-1), -8 - 2 rang<= = lang<= -4, 5, -10 rang<=
Para , quando :
Então, o vetor é:

Passo 7

Agora, calculamos o produto vetorial ur times us = i & j & k 2 & -3 & 0 1 & -2 & 1 = i(-3 cdot 1 - 0 cdot (-2)) - j(2 cdot 1 - 0 cdot 1) + k(2 cdot (-2) - (-3) cdot 1) :
= i(-3) - j(2) + k(-4 + 3)
= lang<= -3, -2, -1 rang<=

Passo 8

Calculamos agora o produto escalar PQ cdot (ur times us) = (-4)(-3) + (5)(-2) + (-10)(-1) = 12 - 10 + 10 = 12 :
O valor absoluto é .

Passo 9

Calculamos a magnitude do vetor |ur times us| = raiz(-3)^2 + (-2)^2 + (-1)^2 = raiz9 + 4 + 1 = raiz14 :

Passo 10

Finalmente, aplicamos os valores na fórmula da distância:
d = 12raiz14 = 12raiz1414 = 6raiz147

Resposta

A distância entre as retas e é unidades.

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