Verifique se a reta eo plano sao paralelos, ou ser , ou se existe un ponto tal que , onde
Passo 1
Vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma reta e um plano . Nosso objetivo é verificar se a reta e o plano são paralelos, se a reta está contida no plano, ou se elas se interceptam em um ponto específico .
Conteúdo da matéria: Geometria Analítica, especificamente o estudo de reta e plano no espaço tridimensional.
O que vamos precisar:
Equação paramétrica da reta .
Equação geral do plano .
Conceitos de paralelismo entre reta e plano.
Método para encontrar o ponto de interseção entre reta e plano.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as equações fornecidas.
A reta x = -1 + t y = 4 - t z = -2 - 3t está definida pelas equações paramétricas:
-2x + y - z = 10
Aqui, é o parâmetro.
O plano é dado pela equação:
Passo 3
Para verificar se a reta dr = 1 -1 -3 é paralela ao plano npi = -2 1 -1 , precisamos analisar os vetores direcionais.
Vetor diretor da reta : É o vetor que determina a direção da reta e pode ser obtido a partir dos coeficientes de nas equações paramétricas. Assim:
Normal ao plano : O vetor normal de um plano é dado pelos coeficientes de , e na equação geral do plano. Portanto:
Passo 4
Para verificar o paralelismo entre a reta e o plano, usamos o produto escalar entre o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano. Se o produto escalar for zero, a reta é paralela ao plano.
Como o produto escalar é zero, a reta é paralela ao plano.
Passo 5
Agora, precisamos verificar se a reta P = (-1, 4, -2) está contida no plano -2(-1) + 4 - (-2) = 2 + 4 + 2 = 8 neq 10 . Para isso, substituímos as coordenadas de um ponto da reta na equação do plano.
Vamos usar o ponto quando :
Substituindo na equação do plano:
Como a equação não é satisfeita, a reta não está contida no plano.
Passo 6
Como a reta é paralela ao plano e não está contida nele, concluímos que não há ponto de interseção entre a reta e o plano.
Resposta
A reta é paralela ao plano e não está contida no plano, portanto, não há ponto de interseção entre eles.