Verifique se a reta r eo plano pi sao paralelos, ou ser C pi, ou se existe un ponto P tal que r cap pi=(P), onde
l x=-1+1 y=4-t z=-2-3 t pi i-2 x+y-z=10

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma reta e um plano . Nosso objetivo é verificar se a reta e o plano são paralelos, se a reta está contida no plano , ou se elas se interceptam em um ponto específico .
Conteúdo da matéria: Geometria Analítica, especificamente o estudo de reta e plano no espaço tridimensional.
O que vamos precisar:
  • Equação paramétrica da reta .
  • Equação geral do plano .
  • Conceitos de paralelismo entre reta e plano.
  • Método para encontrar o ponto de interseção entre reta e plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações fornecidas.
A reta x = -1 + t y = 4 - t z = -2 - 3t está definida pelas equações paramétricas:
-2x + y - z = 10
Aqui, é o parâmetro.
O plano é dado pela equação:

Passo 3

Para verificar se a reta dr = 1 -1 -3 é paralela ao plano npi = -2 1 -1 , precisamos analisar os vetores direcionais.
Vetor diretor da reta : É o vetor que determina a direção da reta e pode ser obtido a partir dos coeficientes de nas equações paramétricas. Assim:
Normal ao plano : O vetor normal de um plano é dado pelos coeficientes de , e na equação geral do plano. Portanto:

Passo 4

Para verificar o paralelismo entre a reta e o plano, usamos o produto escalar entre o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano. Se o produto escalar for zero, a reta é paralela ao plano.
Calculando o produto escalar:
dr cdot npi = (1)(-2) + (-1)(1) + (-3)(-1) = -2 -1 +3 = 0
Como o produto escalar é zero, a reta é paralela ao plano .

Passo 5

Agora, precisamos verificar se a reta P = (-1, 4, -2) está contida no plano -2(-1) + 4 - (-2) = 2 + 4 + 2 = 8 neq 10 . Para isso, substituímos as coordenadas de um ponto da reta na equação do plano.
Vamos usar o ponto quando :
Substituindo na equação do plano:
Como a equação não é satisfeita, a reta não está contida no plano .

Passo 6

Como a reta é paralela ao plano e não está contida nele, concluímos que não há ponto de interseção entre a reta e o plano.

Resposta

A reta é paralela ao plano e não está contida no plano, portanto, não há ponto de interseção entre eles.

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