Sabendo que as retas abaixo são reversas, calcule a distância entre elas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas retas no espaço que são reversas, ou seja, elas não se encontram nem são paralelas. O nosso objetivo aqui é calcular a distância entre essas duas retas. Para isso, a gente vai usar algumas ferramentas de geometria analítica no espaço, como vetores e produto vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as equações paramétricas das duas retas:
Reta r:
x = 1 + 3t y = 6 - t z = -2 + 5t
Reta s:
x = 2 + 8t y = 5 - 3t z = 6 + t
Aqui, t é o parâmetro que varia nas duas retas.
Passo 3
Vamos agora encontrar dois vetores diretores, um para cada reta. Esses vetores indicam a direção em que cada reta está apontando.
Vetor diretor da reta r (vr):
vr = 3 -1 5
Vetor diretor da reta s (vs):
vs = 8 -3 1
Passo 4
Para calcular a distância entre duas retas reversas, usamos a seguinte fórmula:
d = |PQ cdot (vr times vs)||vr times vs|
Onde:
PQ é o vetor que liga um ponto da reta r a um ponto da reta s.
vr times vs é o produto vetorial dos vetores diretores das retas.
Passo 5
Primeiro, vamos escolher um ponto em cada reta. Fácil:
Para a reta r, quando t = 0: P = (1, 6, -2)
Para a reta s, quando t = 0: Q = (2, 5, 6)
Agora, vamos encontrar o vetor PQ:
PQ = Q - P = 2 - 1 5 - 6 6 - (-2) = 1 -1 8
Passo 6
Vamos calcular o produto vetorial vr times vs:
vr times vs = i & j & k 3 & -1 & 5 8 & -3 & 1 = i((-1)(1) - (5)(-3)) - j((3)(1) - (5)(8)) + k((3)(-3) - (-1)(8))
= i(-1 + 15) - j(3 - 40) + k(-9 + 8)
= i(14) - j(-37) + k(-1)
= 14 37 -1
Passo 7
Agora, vamos calcular o produto escalar PQ cdot (vr times vs):