Sabendo que as retas abaixo são reversas, calcule a distância entre elas:
r:l x=1+3 t y=6-t z=-2+5 t e s:l x=2+8 t y=5-3 t z=6+t

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas retas no espaço que são reversas, ou seja, elas não se encontram nem são paralelas. O nosso objetivo aqui é calcular a distância entre essas duas retas. Para isso, a gente vai usar algumas ferramentas de geometria analítica no espaço, como vetores e produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações paramétricas das duas retas:
  • Reta r:
    x = 1 + 3t y = 6 - t z = -2 + 5t
  • Reta s:
    x = 2 + 8t y = 5 - 3t z = 6 + t
Aqui, t é o parâmetro que varia nas duas retas.

Passo 3

Vamos agora encontrar dois vetores diretores, um para cada reta. Esses vetores indicam a direção em que cada reta está apontando.
  • Vetor diretor da reta r ( vr):
    vr = 3 -1 5
  • Vetor diretor da reta s ( vs):
    vs = 8 -3 1

Passo 4

Para calcular a distância entre duas retas reversas, usamos a seguinte fórmula:
d = |PQ cdot (vr times vs)||vr times vs|
Onde:
  • PQ é o vetor que liga um ponto da reta r a um ponto da reta s.
  • vr times vs é o produto vetorial dos vetores diretores das retas.

Passo 5

Primeiro, vamos escolher um ponto em cada reta. Fácil:
  • Para a reta r, quando t = 0: P = (1, 6, -2)
  • Para a reta s, quando t = 0: Q = (2, 5, 6)
Agora, vamos encontrar o vetor PQ:
PQ = Q - P = 2 - 1 5 - 6 6 - (-2) = 1 -1 8

Passo 6

Vamos calcular o produto vetorial vr times vs:
vr times vs = i & j & k 3 & -1 & 5 8 & -3 & 1 = i((-1)(1) - (5)(-3)) - j((3)(1) - (5)(8)) + k((3)(-3) - (-1)(8))
= i(-1 + 15) - j(3 - 40) + k(-9 + 8)
= i(14) - j(-37) + k(-1)
= 14 37 -1

Passo 7

Agora, vamos calcular o produto escalar PQ cdot (vr times vs):
PQ cdot (vr times vs) = (1)(14) + (-1)(37) + (8)(-1) = 14 - 37 - 8 = -31
Como estamos interessados no valor absoluto:
|PQ cdot (vr times vs)| = 31

Passo 8

Finalmente, vamos calcular o módulo do produto vetorial vr times vs:
|vr times vs| = raiz14^2 + 37^2 + (-1)^2 = raiz196 + 1369 + 1 = raiz1566 = raiz1566 approx 39.57

Resposta

A distância entre as retas r e s é aproximadamente 0,785 unidades.

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