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A função representa o lucro de uma empresa, em milhões de reais, onde é a quantidade de unidades vendidas. Nesse contexto, considere as seguintes afirmações:
I. Se vender apenas 2 unidades, a empresa terá lucro.
II. Se vender exatamente 6 unidades, a empresa terá lucro máximo.
III. Se vender 15 unidades, a empresa terá prejuízo.
Quais afirmações são verdadeiras?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma função que representa o lucro de uma empresa em milhões de reais, dependendo de quantas unidades ela vende. A função é , onde é a quantidade de unidades vendidas. Precisamos analisar três afirmações sobre essa função para ver quais são verdadeiras:
I. Se vender apenas 2 unidades, a empresa terá lucro.
II. Se vender exatamente 6 unidades, a empresa terá lucro máximo.
III. Se vender 15 unidades, a empresa terá prejuízo.
Para resolver isso, vamos calcular o lucro para essas quantidades específicas e entender como a função se comporta.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a Afirmação I: “Se vender apenas 2 unidades, a empresa terá lucro.”
Para isso, substituímos na função :
Vamos calcular passo a passo:
Agora, somamos tudo: , e
Então, milhões de reais.
Como o lucro é negativo (-700), a empresa teria prejuízo, não lucro, vendendo apenas 2 unidades. Logo, a Afirmação I é falsa.
Passo 3
Agora, vamos para a Afirmação II: “Se vender exatamente 6 unidades, a empresa terá lucro máximo.”
A função é uma parábola com coeficiente de negativo, o que significa que ela tem um ponto máximo. Para encontrar onde esse máximo ocorre, usamos a fórmula do vértice da parábola:
Onde e . Substituindo:
Então, o lucro máximo ocorre quando unidades são vendidas. Isso confirma que a Afirmação II é verdadeira.
Passo 4
Por fim, vamos verificar a Afirmação III: “Se vender 15 unidades, a empresa terá prejuízo.”
Substituímos na função :
Calculando passo a passo:
Agora, somamos tudo: , e
Então, milhões de reais.
Como o lucro é negativo (-7200), a empresa realmente teria um prejuízo vendendo 15 unidades. Portanto, a Afirmação III é verdadeira.