Calcule as integrais definidas abaixo: integral1^2(5 x^-4-8 x^-3) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral definida: . Isso está dentro do tópico de Cálculo Integral. Para resolver, a gente vai precisar usar as regras de integração para funções do tipo .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral definida. Basicamente, ela nos dá a área sob a curva da função entre dois pontos, nesse caso, de até .

Passo 3

A função que vamos integrar é . Vamos integrar cada termo separadamente usando a regra básica de integração: , onde é a constante de integração.

Passo 4

Vamos começar com o primeiro termo, integral 5x^-4 dx = 5 integral x^-4 dx = 5 ( x^-4 + 1-4 + 1 ) = 5 ( x^-3-3 ) = -53x^-3 :

Passo 5

Agora, vamos integrar o segundo termo, integral -8x^-3 dx = -8 integral x^-3 dx = -8 ( x^-3 + 1-3 + 1 ) = -8 ( x^-2-2 ) = 4x^-2 :

Passo 6

Juntando os dois resultados, a antiderivada da nossa função é:
-53x^-3 + 4x^-2

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a 2. Isso significa que vamos substituir [ -53(2)^-3 + 4(2)^-2 ] - [ -53(1)^-3 + 4(1)^-2 ] por 2 e por 1 na antiderivada e subtrair os resultados:

Passo 8

Vamos calcular cada parte:
Para -53(2)^-3 = -53 cdot 18 = -524 :
4(2)^-2 = 4 cdot 14 = 1
-53(1)^-3 = -53 cdot 1 = -53
Então, para 4(1)^-2 = 4 cdot 1 = 4 :
Para :
Então, para :

Passo 9

Agora, subtraímos os valores:
1924 - 73 = 1924 - 5624 = -3724

Resposta

A integral definida é igual a .

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