9.12 Demonstre que um canal trapezoidal, cuja seção molhada é um semihexágono regular, funciona na condição de mínimo perímetro molhado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente demonstrar que um canal trapezoidal, onde a parte molhada tem a forma de um semihexágono regular, funciona na condição de mínimo perímetro molhado. Isso está relacionado à hidráulica de canais abertos, onde queremos que o canal tenha a menor resistência possível à passagem da água. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de geometria e cálculo para encontrar o mínimo do perímetro molhado.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o canal trapezoidal com a seção molhada sendo um semihexágono regular. Um semihexágono regular tem 3 lados iguais e 3 ângulos iguais. Como é metade de um hexágono, temos 3 lados na base e 3 lados na parte superior.

Passo 3

Vamos definir algumas variáveis para facilitar:
  • : comprimento de cada lado do semihexágono.
  • : largura da base do canal trapezoidal.
  • : altura do canal.
Como o semihexágono tem 3 lados iguais, a base do canal trapezoidal será .

Passo 4

Agora, vamos calcular a área da seção molhada. A área do semihexágono regular pode ser calculada dividindo-o em 3 triângulos equiláteros. A área de um triângulo equilátero com lado é . Então, a área total será:

Passo 5

O perímetro molhado é a soma dos três lados do semihexágono e da base do canal. Então:
Como , substituindo temos:

Passo 6

Para encontrar a condição de mínimo perímetro molhado, precisamos relacionar a área com o perímetro e derivar em relação a . Primeiro, expressamos em termos de :

Passo 7

Substituindo na expressão do perímetro:
Simplificando:

Passo 8

Observamos que o perímetro está diretamente relacionado com . Para minimizar , precisamos minimizar , o que é alcançado quando a forma molhada é a mais eficiente geometricamente, como o semihexágono regular.

Resposta

Assim, demonstramos que, para um canal trapezoidal com seção molhada em forma de semihexágono regular, o perímetro molhado é mínimo, garantindo uma condição ideal de fluxo com menor resistência.

Exercícios relacionados

9.8 Qual deve ser a declividade de fundo de um canal trapezoidal com taludes , largura de base , para transportar uma vazão de com velocidade média de . Coeficiente de rugosidade do fundo e taludes .
O método das seções fundamenta-se no princípio de que, se uma treliça está em equilíbrio, então qualquer segmento dela também está em equilíbrio.
9.18 Os critérios de projeto de um canal trapezoidal com taludes , declividade de fundo e revestimento de terra, bem construído, sem vegetação e com curvas de grande raio, foram os seguintes:
a) velocidade média, para a vazão de projeto .
b) número de Froude, para a vazão de projeto .
c) largura de fundo .
Determine a capacidade vazão do canal no regime permanente e uniforme.
9.14 Um canal trapezoidal com largura de fundo igual a , inclinação de taludes , coeficiente de rugosidade e declividade de fundo , escoa uma determinada vazão em regime uniforme, de modo que, em relação a uma galeria circular, sua área molhada é 2,5 vezes maior que a da galeria, a largura na superfície livre, 3 vezes maior e os números de Froude dos escoamentos são iguais. Sendo a vazão transportada pela galeria igual a , determine a vazão transportada pelo canal.