9.12 Demonstre que um canal trapezoidal, cuja seção molhada é um semihexágono regular, funciona na condição de mínimo perímetro molhado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente demonstrar que um canal trapezoidal, onde a parte molhada tem a forma de um semihexágono regular, funciona na condição de mínimo perímetro molhado. Isso está relacionado à hidráulica de canais abertos, onde queremos que o canal tenha a menor resistência possível à passagem da água. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de geometria e cálculo para encontrar o mínimo do perímetro molhado.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o canal trapezoidal com a seção molhada sendo um semihexágono regular. Um semihexágono regular tem 3 lados iguais e 3 ângulos iguais. Como é metade de um hexágono, temos 3 lados na base e 3 lados na parte superior.
Passo 3
Vamos definir algumas variáveis para facilitar:
-
: comprimento de cada lado do semihexágono. -
: largura da base do canal trapezoidal. -
: altura do canal.
Como o semihexágono tem 3 lados iguais, a base do canal trapezoidal será
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a área da seção molhada. A área
do semihexágono regular pode ser calculada dividindo-o em 3 triângulos equiláteros. A área de um triângulo equilátero com lado
é
. Então, a área total será:
Passo 5
O perímetro molhado
é a soma dos três lados do semihexágono e da base do canal. Então:
Como
, substituindo temos:
Passo 6
Para encontrar a condição de mínimo perímetro molhado, precisamos relacionar a área
com o perímetro
e derivar em relação a
. Primeiro, expressamos
em termos de
:
Passo 7
Substituindo
na expressão do perímetro:
Simplificando:
Passo 8
Observamos que o perímetro
está diretamente relacionado com
. Para minimizar
, precisamos minimizar
, o que é alcançado quando a forma molhada é a mais eficiente geometricamente, como o semihexágono regular.
Resposta
Assim, demonstramos que, para um canal trapezoidal com seção molhada em forma de semihexágono regular, o perímetro molhado é mínimo, garantindo uma condição ideal de fluxo com menor resistência.
Exercícios relacionados
9.8 Qual deve ser a declividade de fundo de um canal trapezoidal com taludes
, largura de base
, para transportar uma vazão de
com velocidade média de
. Coeficiente de rugosidade do fundo e taludes
.
9.18 Os critérios de projeto de um canal trapezoidal com taludes
, declividade de fundo
e revestimento de terra, bem construído, sem vegetação e com curvas de grande raio, foram os seguintes:
a) velocidade média, para a vazão de projeto .
b) número de Froude, para a vazão de projeto .
c) largura de fundo .
Determine a capacidade vazão do canal no regime permanente e uniforme.
a) velocidade média, para a vazão de projeto
b) número de Froude, para a vazão de projeto
c) largura de fundo
Determine a capacidade vazão do canal no regime permanente e uniforme.
9.14 Um canal trapezoidal com largura de fundo igual a
, inclinação de taludes
, coeficiente de rugosidade
e declividade de fundo
, escoa uma determinada vazão em regime uniforme, de modo que, em relação a uma galeria circular, sua área molhada é 2,5 vezes maior que a da galeria, a largura na superfície livre, 3 vezes maior e os números de Froude dos escoamentos são iguais. Sendo a vazão transportada pela galeria igual a
, determine a vazão transportada pelo canal.