9.12 Demonstre que um canal trapezoidal, cuja seção molhada é um semihexágono regular, funciona na condição de mínimo perímetro molhado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente demonstrar que um canal trapezoidal, onde a parte molhada tem a forma de um semihexágono regular, funciona na condição de mínimo perímetro molhado. Isso está relacionado à hidráulica de canais abertos, onde queremos que o canal tenha a menor resistência possível à passagem da água. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de geometria e cálculo para encontrar o mínimo do perímetro molhado.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o canal trapezoidal com a seção molhada sendo um semihexágono regular. Um semihexágono regular tem 3 lados iguais e 3 ângulos iguais. Como é metade de um hexágono, temos 3 lados na base e 3 lados na parte superior.

Passo 3

Vamos definir algumas variáveis para facilitar:
  • : comprimento de cada lado do semihexágono.
  • : largura da base do canal trapezoidal.
  • : altura do canal.
Como o semihexágono tem 3 lados iguais, a base do canal trapezoidal será .

Passo 4

Agora, vamos calcular a área da seção molhada. A área A = 3 times raiz34s^2 = 3raiz34s^2 do semihexágono regular pode ser calculada dividindo-o em 3 triângulos equiláteros. A área de um triângulo equilátero com lado é . Então, a área total será:

Passo 5

O perímetro molhado P = 3s + b é a soma dos três lados do semihexágono e da base do canal. Então:
P = 3s + 3s = 6s
Como , substituindo temos:

Passo 6

Para encontrar a condição de mínimo perímetro molhado, precisamos relacionar a área A = 3raiz34s^2 Rightarrow s = raiz4A3raiz3 com o perímetro e derivar em relação a . Primeiro, expressamos em termos de :

Passo 7

Substituindo P = 6 times raiz4A3raiz3 na expressão do perímetro:
P = 6 times raiz4A3raiz3 = 6 times 2raizAraiz3raiz[4]3 = 12raizAraiz3raiz[4]3
Simplificando:

Passo 8

Observamos que o perímetro está diretamente relacionado com . Para minimizar , precisamos minimizar , o que é alcançado quando a forma molhada é a mais eficiente geometricamente, como o semihexágono regular.

Resposta

Assim, demonstramos que, para um canal trapezoidal com seção molhada em forma de semihexágono regular, o perímetro molhado é mínimo, garantindo uma condição ideal de fluxo com menor resistência.

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