9.8 Qual deve ser a declividade de fundo de um canal trapezoidal com taludes 2 H: 1 V, largura de base b=3,0 m, para transportar uma vazão de 3,0 m^3 / s com velocidade média de 0,60 m / s. Coeficiente de rugosidade do fundo e taludes n=0,018.
[I0=2 cdot 10^-4 m / m]

Passo 1

O enunciado nos pede para encontrar a declividade de fundo de um canal trapezoidal que deve transportar uma vazão de com uma velocidade média de . Para resolver isso, vamos usar a Equação de Manning, que é fundamental em hidráulica para relacionar a velocidade de escoamento com a geometria do canal e a sua inclinação.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área da seção transversal do fluxo ( Q = A times V ). Sabemos que a vazão ( A = QV = 3,0 , m^3/s0,60 , m/s = 5,0 , m^2 ) é igual à área multiplicada pela velocidade média ( ):
Então:

Passo 3

Agora, vamos relacionar essa área com a profundidade do fluxo ( A = b times y + z times y^2 ) no canal trapezoidal. A fórmula para a área ( 5,0 = 3,0 times y + 2 times y^2 ) de um canal trapezoidal é:
Onde:
  • é a largura da base.
  • é a razão horizontal para cada unidade vertical dos taludes (2H:1V).
Substituindo os valores:

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática para 2y^2 + 3y - 5 = 0 :
y = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
De
Onde y = -3 pm raiz494 = -3 pm 74 , y = 44 = 1,0 , m e . Calculando o discriminante:
Então:
Considerando a solução positiva:

Passo 5

Com a profundidade P = b + 2y raiz1 + z^2 = 3,0 + 2 times 1,0 times raiz1 + 2^2 = 3,0 + 2 times raiz5 approx 3,0 + 4,472 = 7,472 , m , vamos calcular o Perímetro Molhado ( ):

Passo 6

Agora, calculamos o Raio Hidráulico ( R = AP = 5,07,472 approx 0,669 , m ):

Passo 7

Vamos aplicar a Equação de Manning para encontrar a declividade V = 1n R^2/3 S^1/2 :
S = ( V times nR^2/3 )^2
Isolando S = ( 0,60 times 0,0180,669^2/3 )^2 :
0,669^2/3 approx 0,7663
Substituindo os valores:
S = ( 0,01080,7663 )^2 approx (0,0141)^2 approx 0,000198 , m/m
Calculando :
Então:

Resposta

A declividade de fundo necessária para o canal é aproximadamente .

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