9.14 Um canal trapezoidal com largura de fundo igual a 2,0 m, inclinação de taludes 1 V: 3 H, coeficiente de rugosidade n=0,018 e declividade de fundo I0=0,0003 m / m, escoa uma determinada vazão em regime uniforme, de modo que, em relação a uma galeria circular, sua área molhada é 2,5 vezes maior que a da galeria, a largura na superfície livre, 3 vezes maior e os números de Froude dos escoamentos são iguais. Sendo a vazão transportada pela galeria igual a 1,20 m^3 / s, determine a vazão transportada pelo canal.
[Q=2,74 m^3 / s]

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos um canal trapezoidal com certas dimensões e propriedades hidráulicas. Queremos encontrar a vazão que esse canal transporta, sabendo que comparado a uma galeria circular, a área molhada é 2,5 vezes maior, a largura na superfície livre é 3 vezes maior e os números de Froude são iguais. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de hidráulica de canais, como a relação entre área, largura, vazão e número de Froude.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o número de Froude. Ele é uma grandeza adimensional que relaciona a velocidade do escoamento com a velocidade das ondas na água. A fórmula do número de Froude é:
Fr = VraizgD
onde:
  • é a velocidade média do escoamento,
  • é a aceleração da gravidade (~9,81 m/s²),
  • é o comprimento característico (geralmente a profundidade).
Como os números de Froude dos dois escoamentos são iguais, podemos relacionar as velocidades e profundidades dos dois canais.

Passo 3

Vamos chamar a vazão na galeria circular de At = 2,5 times Ag . A área molhada da trapezoidal é 2,5 vezes a da galeria:
bt = 3 times bg
Além disso, a largura na superfície livre do trapezoidal é 3 vezes a da galeria:
Onde e são as áreas molhadas, e são as larguras na superfície livre dos canais trapezoidal e circular, respectivamente.

Passo 4

Sabemos que a vazão Q = A times V é dada por:
VtraizgDt = VgraizgDg
Onde VtVg = raizDtDg é a área molhada e é a velocidade média. Como é o mesmo para ambos, temos:
Isso implica que:
Assumindo que a profundidade está relacionada com a área e a largura, podemos expressar em termos de e .

Passo 5

Para o canal circular, a área molhada Ag = pi d^24 pode ser relacionada com o diâmetro :
Mas como não temos o diâmetro, vamos focar nas relações fornecidas. Sabemos que e .

Passo 6

Substituindo Qt = At times Vt = 2,5 Ag times Vt e Qg = Ag times Vg = 1,20 , m^3/s na equação da vazão:
E para a galeria:
Como e está relacionado com e , podemos expressar em termos de .

Passo 7

Assumindo que a profundidade do canal trapezoidal Vt = Vg times raizAt / btAg / bg é proporcional à profundidade da galeria Vt = Vg times raiz2,5 Ag / 3 bgAg / bg = Vg times raiz2,53 , podemos simplificar a relação entre as velocidades:
Substituindo e :

Passo 8

Calculando raiz2,53 approx raiz0,8333 approx 0,9129 :
Vt approx 0,9129 Vg
Então,

Passo 9

Agora, substituindo Qt = 2,5 Ag times 0,9129 Vg = 2,5 times 0,9129 times Ag Vg na equação da vazão do trapezoidal:
Qt = 2,5 times 0,9129 times Qg
Mas Qt = 2,5 times 0,9129 times 1,20 , então:
Substituindo :

Passo 10

Calculando:
Qt = 2,5 times 0,9129 times 1,20 approx 2,5 times 1,0955 approx 2,7388 , m^3/s

Resposta

A vazão transportada pelo canal trapezoidal é aproximadamente .

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