9.14 Um canal trapezoidal com largura de fundo igual a
, inclinação de taludes
, coeficiente de rugosidade
e declividade de fundo
, escoa uma determinada vazão em regime uniforme, de modo que, em relação a uma galeria circular, sua área molhada é 2,5 vezes maior que a da galeria, a largura na superfície livre, 3 vezes maior e os números de Froude dos escoamentos são iguais. Sendo a vazão transportada pela galeria igual a
, determine a vazão transportada pelo canal.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos um canal trapezoidal com certas dimensões e propriedades hidráulicas. Queremos encontrar a vazão que esse canal transporta, sabendo que comparado a uma galeria circular, a área molhada é 2,5 vezes maior, a largura na superfície livre é 3 vezes maior e os números de Froude são iguais. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de hidráulica de canais, como a relação entre área, largura, vazão e número de Froude.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o número de Froude. Ele é uma grandeza adimensional que relaciona a velocidade do escoamento com a velocidade das ondas na água. A fórmula do número de Froude é:
onde:
-
é a velocidade média do escoamento, -
é a aceleração da gravidade (~9,81 m/s²), -
é o comprimento característico (geralmente a profundidade).
Como os números de Froude dos dois escoamentos são iguais, podemos relacionar as velocidades e profundidades dos dois canais.
Passo 3
Vamos chamar a vazão na galeria circular de
. A área molhada da trapezoidal é 2,5 vezes a da galeria:
Além disso, a largura na superfície livre do trapezoidal é 3 vezes a da galeria:
Onde
e
são as áreas molhadas,
e
são as larguras na superfície livre dos canais trapezoidal e circular, respectivamente.
Passo 4
Sabemos que a vazão
é dada por:
Onde
é a área molhada e
é a velocidade média. Como
é o mesmo para ambos, temos:
Isso implica que:
Assumindo que a profundidade
está relacionada com a área e a largura, podemos expressar
em termos de
e
.
Passo 5
Para o canal circular, a área molhada
pode ser relacionada com o diâmetro
:
Mas como não temos o diâmetro, vamos focar nas relações fornecidas. Sabemos que
e
.
Passo 6
Substituindo
e
na equação da vazão:
E para a galeria:
Como
e
está relacionado com
e
, podemos expressar
em termos de
.
Passo 7
Assumindo que a profundidade do canal trapezoidal
é proporcional à profundidade da galeria
, podemos simplificar a relação entre as velocidades:
Substituindo
e
:
Passo 8
Calculando
:
Então,
Passo 9
Agora, substituindo
na equação da vazão do trapezoidal:
Mas
, então:
Substituindo
:
Passo 10
Calculando:
Resposta
A vazão transportada pelo canal trapezoidal é aproximadamente
.