-12. Esboce o gráfico da função e use-o para determinar os valores de a para os quais lim x a f(x) existe:
11. f(x)= 1+x & se x<-1 x^2 & se -1 <= x<1 2-x & se x >= 1
12. f(x)= 1+sen x & se x<0 cos x & se 0 <= x <= pi sen x & se x>pi

Passo 1

Vamos dar uma olhada no enunciado: temos duas funções definidas por partes e precisamos esboçar o gráfico de cada uma delas. Depois, vamos determinar para quais valores de o limite existe. Para isso, vamos precisar entender como cada parte da função se comporta e verificar a continuidade nos pontos de transição.

Passo 2

Função 11:
f(x) = 1 + x & se x < -1 x^2 & se -1 <= x < 1 2 - x & se x >= 1
Primeiro, vamos identificar os pontos onde a função muda de expressão: e . Esses pontos são críticos para verificar a existência do limite.

Passo 3

Para e , a função é definida por uma única expressão em torno de , o que garante a existência do limite. Portanto, precisamos focar apenas nos pontos e .

Passo 4

No ponto limx -1^- f(x) = limx -1^- (1 + x) = 1 + (-1) = 0 :
  • Limite à esquerda ( limx -1^+ f(x) = limx -1^+ x^2 = (-1)^2 = 1 ):
  • Limite à direita ( ):
Como os limites laterais são diferentes ( ), o limite não existe.

Passo 5

No ponto limx 1^- f(x) = limx 1^- x^2 = 1^2 = 1 :
  • Limite à esquerda ( limx 1^+ f(x) = limx 1^+ (2 - x) = 2 - 1 = 1 ):
  • Limite à direita ( ):
Aqui, os limites laterais são iguais ( ), então o limite existe e é igual a 1.

Passo 6

Conclusão para a Função 11:
O limite existe para todo real, exceto em .

Passo 7

Função 12:
f(x) = 1 + sin x & se x < 0 cos x & se 0 <= x <= pi sin x & se x > pi
Vamos identificar os pontos de transição: e .

Passo 8

Para e , a função é contínua, então o limite existe. Precisamos verificar os limites nos pontos e .

Passo 9

No ponto limx 0^- f(x) = limx 0^- (1 + sin x) = 1 + sin 0 = 1 :
  • Limite à esquerda ( limx 0^+ f(x) = limx 0^+ cos x = cos 0 = 1 ):
  • Limite à direita ( ):
Os limites são iguais ( ), então existe e é igual a 1.

Passo 10

No ponto limx pi^- f(x) = limx pi^- cos x = cos pi = -1 :
  • Limite à esquerda ( limx pi^+ f(x) = limx pi^+ sin x = sin pi = 0 ):
  • Limite à direita ( ):
Os limites são diferentes ( ), então não existe.

Passo 11

Conclusão para a Função 12:
O limite existe para todo real, exceto em .

Resposta

Para a Função 11, o limite existe para todo exceto em .
Para a Função 12, o limite existe para todo exceto em .

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