-12. Esboce o gráfico da função e use-o para determinar os valores de a para os quais existe:
11.
12.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no enunciado: temos duas funções definidas por partes e precisamos esboçar o gráfico de cada uma delas. Depois, vamos determinar para quais valores de o limite existe. Para isso, vamos precisar entender como cada parte da função se comporta e verificar a continuidade nos pontos de transição.

Passo 2

Função 11:
Primeiro, vamos identificar os pontos onde a função muda de expressão: e . Esses pontos são críticos para verificar a existência do limite.

Passo 3

Para e , a função é definida por uma única expressão em torno de , o que garante a existência do limite. Portanto, precisamos focar apenas nos pontos e .

Passo 4

No ponto :
  • Limite à esquerda ( ):
  • Limite à direita ( ):
Como os limites laterais são diferentes ( ), o limite não existe.

Passo 5

No ponto :
  • Limite à esquerda ( ):
  • Limite à direita ( ):
Aqui, os limites laterais são iguais ( ), então o limite existe e é igual a 1.

Passo 6

Conclusão para a Função 11:
O limite existe para todo real, exceto em .

Passo 7

Função 12:
Vamos identificar os pontos de transição: e .

Passo 8

Para e , a função é contínua, então o limite existe. Precisamos verificar os limites nos pontos e .

Passo 9

No ponto :
  • Limite à esquerda ( ):
  • Limite à direita ( ):
Os limites são iguais ( ), então existe e é igual a 1.

Passo 10

No ponto :
  • Limite à esquerda ( ):
  • Limite à direita ( ):
Os limites são diferentes ( ), então não existe.

Passo 11

Conclusão para a Função 12:
O limite existe para todo real, exceto em .

Resposta

Para a Função 11, o limite existe para todo exceto em .
Para a Função 12, o limite existe para todo exceto em .

Exercícios relacionados

Para a função cujo gráfico é mostrado a seguir, determine o seguinte:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f) As equações das assíntotas verticais.
Encontre .
.
Seja definida por
A função está definida em ? Justifique.