Seja definida por
A função está definida em ? Justifique.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma função definida de forma diferente para vários valores de . O conteúdo aqui envolve funções racionais e análise de domínios. Para resolver, vamos precisar verificar se a função está definida para todos os números reais, ou seja, identificar se existem valores de que tornam a função indefinida.
Passo 2
Primeiro, observamos que a função é definida por partes:
Queremos verificar se para todo , existe um valor definido para .
Passo 3
Vamos analisar a primeira parte da função, onde e :
Para que essa fração seja definida, o denominador não pode ser zero. Então, precisamos resolver a equação:
Vamos tentar encontrar as raízes dessa equação para identificar os valores de que tornam a função indefinida.
Passo 4
Tentando valores simples, vamos testar :
Portanto, é uma raiz do denominador, o que significa que a função original seria indefinida nesse ponto. No entanto, vemos que no enunciado, quando , a função está definida como . Isso significa que essa descontinuidade foi removida pela definição da função.
Passo 5
Agora, precisamos verificar se existem outras raízes no denominador que não estão definidas na função. Além de , vamos fatorar o denominador:
Portanto, as raízes são (multiplicidade 2) e . No enunciado, temos que , então a descontinuidade em também foi removida.
Passo 6
Também precisamos considerar os valores onde e . Verificamos se ou fazem o denominador zero:
Para :
Para :
Então, nesses casos, o denominador não é zero, mas a função foi definida para e , provavelmente para evitar outras complicações na expressão.
Passo 7
Resumindo, as descontinuidades originais em e foram tratadas pela definição da função. E para e , embora o denominador não se anule, a função foi explicitamente definida para não incluir esses valores. Assim, há valores reais para os quais não está definida.
Resposta
Não, a função não está definida para todos os números reais, pois está excluída nos pontos e .