Seja f definida por f(x)=clx^3+2 x^2+xx^3+5 x^2+7 x+3 & se x neq 3, x neq 1 0 & se x=-3 -1 / 2 & se x=-1
A função f está definida em R ? Justifique.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma função definida de forma diferente para vários valores de . O conteúdo aqui envolve funções racionais e análise de domínios. Para resolver, vamos precisar verificar se a função está definida para todos os números reais, ou seja, identificar se existem valores de que tornam a função indefinida.

Passo 2

Primeiro, observamos que a função f(x) = x^3 + 2x^2 + xx^3 + 5x^2 + 7x + 3 & se x neq 3, x neq 1 0 & se x = -3 -12 & se x = -1 é definida por partes:
Queremos verificar se para todo , existe um valor definido para .

Passo 3

Vamos analisar a primeira parte da função, onde x^3 + 2x^2 + xx^3 + 5x^2 + 7x + 3 e x^3 + 5x^2 + 7x + 3 = 0 :
Para que essa fração seja definida, o denominador não pode ser zero. Então, precisamos resolver a equação:
Vamos tentar encontrar as raízes dessa equação para identificar os valores de que tornam a função indefinida.

Passo 4

Tentando valores simples, vamos testar (-1)^3 + 5(-1)^2 + 7(-1) + 3 = -1 + 5 - 7 + 3 = 0 :
Portanto, é uma raiz do denominador, o que significa que a função original seria indefinida nesse ponto. No entanto, vemos que no enunciado, quando , a função está definida como . Isso significa que essa descontinuidade foi removida pela definição da função.

Passo 5

Agora, precisamos verificar se existem outras raízes no denominador que não estão definidas na função. Além de x^3 + 5x^2 + 7x + 3 = (x + 1)(x^2 + 4x + 3) = (x + 1)(x + 1)(x + 3) , vamos fatorar o denominador:
Portanto, as raízes são (multiplicidade 2) e . No enunciado, temos que , então a descontinuidade em também foi removida.

Passo 6

Também precisamos considerar os valores onde 3^3 + 5(3)^2 + 7(3) + 3 = 27 + 45 + 21 + 3 = 96 neq 0 e 1^3 + 5(1)^2 + 7(1) + 3 = 1 + 5 + 7 + 3 = 16 neq 0 . Verificamos se ou fazem o denominador zero:
Para :
Para :
Então, nesses casos, o denominador não é zero, mas a função foi definida para e , provavelmente para evitar outras complicações na expressão.

Passo 7

Resumindo, as descontinuidades originais em e foram tratadas pela definição da função. E para e , embora o denominador não se anule, a função foi explicitamente definida para não incluir esses valores. Assim, há valores reais para os quais não está definida.

Resposta

Não, a função não está definida para todos os números reais, pois está excluída nos pontos e .

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